Proste równoległe i prostopadłe
Bezpłatne
Course Features
- Lectures 0
- Quizzes 0
- Duration 50 hours
- Skill level All levels
- Language English
- Students 0
- Assessments Yes
Zadanie 1
Wyznacz równanie prostej k równoległej do prostej l o wzorze y = 2x + 3 przechodzącej przez punkt A = (6, 8).
ROZWIĄZANIE:
1. Wyznaczamy współczynnik kierunkowy i podstawiamy go do równania prostej:
2. Wyznaczamy wyraz wolny b:
3. Zapisujemy równanie prostej:
WSKAZÓWKI:
1. Wyznaczamy wartość współczynnika kierunkowego prostej k na podstawie definicji o równoległości dwóch prostych, z której wynika, że współczynniki kierunkowe prostych równoległych są takie same. W związku z tym jeśli współczynnik kierunkowy jednej prostej równy jest 2 to współczynnik kierunkowy prostej równoległej również będzie wynosił 2.
2. Podstawiamy do wzoru prostej wartość wyznaczonego współczynnika kierunkowego.
3. Obliczamy wartość wyrazu wolnego b. W tym celu podstawiamy współrzędne punktu A do równania prostej k. Pierwszą współrzędną ( 6 ) podstawiamy w miejsce x, natomiast drugą współrzędną ( 8 ) podstawiamy w miejsce y. Pamiętajmy o kolejności wykonywania działań a także o zmianie znaku na przeciwny podczas przenoszenia na drugą stronę równania.
4. Podstawiamy do wzoru obliczoną wartość wyrazu wolnego b i zapisujemy równanie prostej k.
Odpowiedź: Prostą równoległą do prostej l: y = 2x + 3 przechodzą przez punkt A = (6, 8) jest prosta k: y = 2x – 4
Zadanie 2
Wyznacz równanie prostej m równoległej do prostej n o wzorze y = – 0,5x – 2 przechodzącej przez punkt A = (2, 4).
ROZWIĄZANIE:
1. Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej m a następnie podstawiamy go do wzoru funkcji liniowej.
2. Współrzędne punktu A podstawiamy do równania prostej m: y = – 0,5x + b i obliczamy wyraz wolny b.
3. Podstawiamy do wzoru obliczoną wartość wyrazu wolnego b i zapisujemy równanie prostej m.
Odpowiedź: Prostą równoległą do prostej n o wzorze y = – 0,5x – 2 i przechodzącą przez punkt A = (2, 4) jest prosta m o wzorze: y = – 0,5x + 5.
Zadanie 3
Napisz wzór funkcji liniowej g, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji liniowej f i przechodzi przez punkt A, jeśli:
ROZWIĄZANIE:
1. Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej.
2. Wartość współczynnika kierunkowego funkcji liniowej g podstawiamy do wzoru funkcji.
3. Obliczamy wyraz wolny b.
4. Zapisujemy wzór funkcji.
WSKAZÓWKI:
1. Zapisz warunek prostopadłości prostych, który mówi, że proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, kiedy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy –1.
2. Wyznacz wartość współczynnika kierunkowego funkcji g(x). Podstaw do wzoru wartość współczynnika funkcji f(x) i wykonaj obliczenia.
3. Wartość współczynnika kierunkowego podstaw do wzoru funkcji (UWAGA – wykresem funkcji liniowej jest linia prosta dlatego wzór funkcji to wzór prostej).
4. Oblicz wartość wyrazu wolnego b. Podstaw współrzędne punktu A do wzoru funkcji g(x).
Pamiętaj, że przenosząc na drugą stronę równania zmieniamy znaki na przeciwne.
5. Podstawiamy do wzoru obliczoną wartość wyrazu wolnego b i zapisujemy równanie funkcji liniowej g. Jeśli wartość współczynnika kierunkowego b wynosi 0 to nie zapisujemy tego we wzorze funkcji.
ROZWIĄZANIE:
1. Wyznaczamy wartość współczynnika kierunkowego funkcji g(x).
2. Wartość współczynnika kierunkowego funkcji liniowej g podstawiamy do wzoru funkcji.
3. Współrzędne punktu A podstawiamy do równania funkcji g(x) = – 0,25x + b i obliczamy wyraz wolny b.
4. Podstawiamy do wzoru obliczoną wartość wyrazu wolnego b i zapisujemy równanie funkcji liniowej g.
ROZWIĄZANIE:
1. Wyznaczamy wartość współczynnika kierunkowego funkcji g.
2. Wartość współczynnika kierunkowego funkcji liniowej g podstawiamy do wzoru funkcji.
3. Współrzędne punktu A podstawiamy do równania funkcji g(x) i obliczamy wyraz wolny b.
4. Podstawiamy do wzoru obliczoną wartość wyrazu wolnego b i zapisujemy równanie funkcji liniowej g.
Zadanie 4
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej y = 4x + 2 przechodzącej przez początek układu współrzędnych.
ROZWIĄZANIE:
1. Wyznaczamy wartość współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej.
2. Wartość współczynnika kierunkowego prostej podstawiamy do równania kierunkowego prostej.
3. Wyznaczamy wartość współczynnika b korzystając z zależności:
lub podstawiając do równania prostej:
4. Zapisujemy równanie szukanej prostej:
WSKAZÓWKI:
1. Zapisz warunek prostopadłości prostych.
2. Wyznacz wartość współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej.
3. Podstaw obliczoną wartość współczynnika do równania prostej.
4. Wyznacz wartość wyrazu wolnego b. Niezwykle istotny jest fakt, że prosta o równaniu y = ax + b przecina oś OY w punkcie P o współrzędnych (0, b). Oznacza to, że jeśli prosta prostopadła przechodzi przez początek układu współrzędnych to przecina oś OY w punkcie (0,0) a więc wartość współczynnika b (wyrazu wolnego) równa się drugiej współrzędnej punktu przecięcia z osią OY i wynosi 0.
Wartość współczynnika możemy obliczyć również w inny sposób – podstawiając do równania prostej współrzędne punktu przez który przechodzi prosta. Jeśli przechodzi przez początek układu współrzędnych to znaczy, że jest to punkt o współrzędnych P = (0,0). Tak więc w miejsce x i y podstawiamy 0 i obliczamy wartość współczynnika b.
5. Zapisz równanie szukanej prostej.
Odpowiedź: Prostą prostopadłą do prostej y = 4x + 2 przechodzącą równocześnie przez początek układu współrzędnych jest prosta o wzorze y = – 0,25x.
Zadanie 5
Wyznacz wartość m, dla której proste f i g są równoległe jeśli
ROZWIĄZANIE:
1. Obliczamy wartość parametru m:
2. Wykonujemy sprawdzenie:
WSKAZÓWKI:
1. Zapisz warunek równoległości prostych.
2. Przyrównaj współczynniki kierunkowe obu funkcji i oblicz wartość parametru m.
3. Sprawdź poprawność swoich obliczeń poprzez podstawienie w miejsce parametru m obliczonej wartości. Jeśli po obu stronach otrzymasz te same wyniki to znaczy, że współczynniki kierunkowe obu funkcji są takie same a co za tym idzie obliczenia zostały wykonane poprawnie.
Oczywiście wykonanie sprawdzenia nie jest obowiązkowym elementem zadania. Służy jedynie zweryfikowaniu poprawności obliczeń.
Odpowiedź: Dla m = – 0,5 proste f i g są równoległe.
ROZWIĄZANIE:
1. Obliczamy wartość parametru m:
WSKAZÓWKI:
1. Określ warunek równoległości prostych.
Po przeanalizowaniu zapisu obu funkcji można zauważyć, że funkcja f(x) jest funkcją stałą. Świadczy o tym brak współczynnika kierunkowego (współczynnik kierunkowy równa się zeru). Najprościej mówiąc – nie ma “wyrażenia z x – em”. Dlatego aby funkcja g(x) była równoległa do funkcji f(x) również musi być stała. W związku z tym wartość współczynnika kierunkowego także musi być równa 0.
2. Przyrównaj współczynnik kierunkowy funkcji g(x) do 0 i oblicz wartość parametru m.
3. Wykonaj sprawdzenie. Podstaw wartość parametru m do wzorów obu funkcji i określ czy są równoległe względem siebie.
Odpowiedź: Dla m = 10 obie funkcje będą funkcjami stałymi w związku z tym będą równoległe względem siebie.
ROZWIĄZANIE:
1. Przyrównujemy współczynniki kierunkowe obu funkcji i obliczamy wartość parametru m dla którego zachodzi warunek równoległości prostych.
WSKAZÓWKI:
1. Przyrównaj współczynniki.
2. Opuść nawias po lewej stronie równania (pamiętaj, że minus przed nawiasem zmienia wszystkie znaki w nawiasie na przeciwne).
3. Przenieś wiadome na jedną stronę równania a niewiadome na drugą stronę równania. Pamiętaj o zmianie znaku na przeciwny.
4. Wyciągnij wspólny czynnik przed nawias (– m).
5. Podziel obie strony równania przez wyrażenie znajdujące się przy m.
6. Uprość ułamek. Ponieważ licznik i mianownik tego ułamka są takie same możemy zapisać go jako 1.
7. Pomnóż obie strony równania przez – 1 aby pozbyć się minusa przy m po lewej stronie równania.
Odpowiedź: Dla m = –1 funkcje f(x) i g(x) będą równoległe.
Zadanie 6
Prosta o równaniu y = 3x + 6 jest prostopadła do prostej y = mx – 8. Wyznacz m.
ROZWIĄZANIE:
1. Zapisujemy warunek prostopadłości dwóch prostych (iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy –1).
2. Podstawiamy do wzoru wartości współczynników kierunkowych obu prostych i wykonujemy obliczenia.
Odpowiedź: Parametr m prostej y = mx – 8 wynosi –1/3.
Zadanie 7
Wyznacz m wiedząc, że funkcja f o wzorze f(x) = – 0,5 mx + 7,5 jest prostopadła do funkcji g(x) = (4m – 7)x.
ROZWIĄZANIE:
1. Zapisujemy warunek prostopadłości prostych i obliczamy wartość parametru m.
2. Wykonujemy sprawdzenie (wykonanie sprawdzenia nie jest obowiązkowym elementem zadania. Służy jedynie zweryfikowaniu poprawności obliczeń).
WSKAZÓWKI:
1. Zapisz warunek prostopadłości prostych.
2. Podstaw do wzoru wartości współczynników kierunkowych obu funkcji i wykonaj mnożenie. Zauważ, że otrzymałeś równanie kwadratowe. Uporządkuj równanie przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę. Pamiętaj o zmianie znaku na przeciwny.
3. Oblicz deltę (inaczej – wyróżnik równania kwadratowego).
4. Określ ilość rozwiązań tego równania. Jeśli delta jest większa od zera to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania (inaczej – pierwiastki).
5. Wykonaj obliczenia i podaj rozwiązania tego równania.
Odpowiedź: Dla m = 2 i dla m = – 0,25 funkcje f(x) i g(x) są prostopadłe.
Zadanie 8
Wyznacz wszystkie parametry m dla których proste y = – 3mx + 4 i y = (m + 1)x + 0,5m są prostopadłe.
ROZWIĄZANIE:
1. Zapisujemy warunek prostopadłości prostych a następnie podstawiamy współczynniki kierunkowe i wykonujemy obliczenia.
Zadanie 9
Proste o równaniach –3y – mx + 12 = 0 i y = 6x – 12 są prostopadłe dla m równego:
ROZWIĄZANIE:
1. Przekształcamy postać ogólna prostej na postać kierunkową
2. Zapisujemy warunek prostopadłości prostych, podstawiamy współczynniki kierunkowe i wykonujemy obliczenia.
Odpowiedź: Dla m = 0,5 proste o równaniach –3y – mx + 12 = 0 i y = 6x – 12 są prostopadłe.
Zadanie 10
Wiadomo, że proste o równaniach y = 2x – 5 i y = (3 – m)x + 4 są równoległe. Ile wynosi m ?
ROZWIĄZANIE:
1. Zapisujemy warunek równoległości prostych (dwie proste są równoległe jeśli ich współczynniki kierunkowe są takie same) i obliczamy wartość parametru m.
Odpowiedź: Dla parametru m = 1 proste o równaniach y = 2x – 5 i y = (3 – m)x + 4 będą równoległe.
Zadanie 11
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = 0,5x – 5 jest równy:
ROZWIĄZANIE:
Odpowiedź: Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = 0,5x –5 jest równy –2.
Odwiedzając dowolną witrynę internetową, dla polepszenia jakości usług może ona przechowywać lub pobierać informacje w przeglądarce, głównie w formie plików cookie. Tutaj możesz zarządzać tymi ustawieniami.