Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Teacher

Żaneta Szczyglak

Categories

LICEUM / TECHNIKUM, Liczby rzeczywiste, Logarytmy

Bezpłatne

Opis

Zadanie 1

Oblicz:

$a)\, {log}_{2}2+{log}_{2}16$

$b)\, {log}_{3}9+{log}_{3}1$

$c)\, {log}_{6}3+{log}_{6}12$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${log}_{2}2+{log}_{2}16={log}_{2}(2\times 16)={log}_{2}32=5$

WSKAZÓWKI:

${log}_{a}b+{log}_{a}c={log}_{a}(b\times c)$

${log}_{2}2+{log}_{2}16={log}_{2}(2\times 16)$

${log}_{2}(2\times 16)={log}_{2}32$

1. Skorzystaj ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie.

Jeśli dodajemy do siebie dwa logarytmy o tej samej podstawie to w rezultacie dostajemy jeden logarytm przy tej samej podstawie z liczby, która jest iloczynem (mnożeniem) liczb logarytmowanych.

${log}_{a}b=x\, \, \, \leftrightarrow \, \, {a}^{x}=b$

${log}_{2}32=x\, \, \, \, \leftrightarrow \, \, \, \, {2}^{x}=32$

${2}^{5}=32$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu.

Zastanów się do jakiej potęgi należy podnieść podstawę logarytmu (2) aby otrzymać liczbę logarytmowaną (32).

$b)$ ${log}_{3}9+{log}_{3}1={log}_{3}(9\times 1)={log}_{3}9=2$

$c)$ ${log}_{6}3+{log}_{6}12={log}_{6}(3\times 12)={log}_{6}36=2$

Zadanie 2

Oblicz:

$a)\, {log}_{15}3+{log}_{15}5$

$b)\, {log}_{50}5+{log}_{50}10$

$c)\, log10+log1$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${log}_{15}3+{log}_{15}5={log}_{15}(3\times 5)={log}_{15}15=1$

WSKAZÓWKI:

${log}_{15}3+{log}_{15}5={log}_{15}(3\times 5)$

${log}_{15}(3\times 5)={log}_{15}15$

1. Skorzystaj ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie.

${log}_{a}a=1$

${log}_{15}15=1$

2. Skorzystaj z zależności:

Jeżeli liczba przy podstawie i liczba logarytmowana są takie same (zakładając oczywiście, że a >0 oraz a≠1) to wynik tego logarytmu będzie równy 1.

$b)\,$ ${log}_{50}5+{log}_{50}10={log}_{50}(5\times 10)={log}_{50}50=1$

$c)$ $log10+log1=log(10\times 1)=log10=1$

UWAGA: Pamiętaj, że jeśli w zapisie logarytmu nie ma wyraźnie określonej podstawy to przyjmujemy, że jest ona równa 10 (jest to tzw. logarytm dziesiętny).

Zadanie 3

Oblicz:

$a)\, log8+log125$

$b)\, log2+log50$

$c)\, log25+log40$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ $log8+log125=log(8\times 125)=log1000=3$

WSKAZÓWKI:

$log8+log125=log(8\times 125)$

$log(8\times 125)=log1000$

1. Skorzystaj ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie.

$log1000=x\, \, \, \, \leftrightarrow \, \, \, \, {10}^{x}=1000$

$x=3$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu.

$b)$ $log2+log50=log(2\times 50)=log100=2$

$c)$ $log25+log40=log(25\times 40)=log1000=3$

Zadanie 4

Oblicz:

$a)\, {log}_{\frac {1} {6}}3+{log}_{\frac {1} {6}}2$

$b)\, {log}_{\frac {1} {2}}2+{log}_{\frac {1} {2}}8$

$c)\, {log}_{\frac {1} {3}}27+{log}_{\frac {1} {3}}3$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${log}_{\frac {1} {6}}3+{log}_{\frac {1} {6}}2={log}_{\frac {1} {6}}(3\times 2)={log}_{\frac {1} {6}}6=-1$

WSKAZÓWKI:

${log}_{\frac {1} {6}}3+{log}_{\frac {1} {6}}2={log}_{\frac {1} {6}}(3\times 2)$

${log}_{\frac {1} {6}}(3\times 2)={log}_{\frac {1} {6}}6$

1. Skorzystaj ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie.

${log}_{\frac {1} {6}}6=x\, \, \, \, \leftrightarrow \, \, \, \, {(\frac {1} {6})}^{x}=6$

$({\frac {1} {6})}^{-1}={(\frac {6} {1})}^{1}={6}^{1}=6$

$x=-1$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu.

Pamiętaj że jeśli podnosimy liczbę do potęgi o ujemnym wykładniku to odwraca nam on liczbę potęgowaną.

$b)$ ${log}_{\frac {1} {2}}2+{log}_{\frac {1} {2}}8={log}_{\frac {1} {2}}(2\times 8)={log}_{\frac {1} {2}}16=-4$

$c)$ ${log}_{\frac {1} {3}}27+{log}_{\frac {1} {3}}3={log}_{\frac {1} {3}}(27\times 3)={log}_{\frac {1} {3}}81=-4$

Zadanie 5

Oblicz:

$a)\, {log}_{0,1}0,2+{log}_{0,1}0,5$

$b)\, {log}_{0,04}0,4+{log}_{0,04}0,5$

$c)\, {log}_{0,2}0,1+{log}_{0,2}0,08$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${log}_{0,1}0,2+{log}_{0,1}0,5={log}_{0,1}(0,2\times 0,5)={log}_{0,1}0,1=1$

WSKAZÓWKI:

${log}_{0,1}0,2+{log}_{0,1}0,5={log}_{0,1}(0,2\times 0,5)$

${log}_{0,1}(0,2\times 0,5)={log}_{0,1}0,1$

1. Skorzystaj ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie.

${log}_{a}a=1$

${log}_{0,1}0,1=1$

2. Skorzystaj z zależności:

$b)\,$ ${log}_{0,04}0,4+{log}_{0,04}0,5={log}_{0,04}(0,4\times 0,5)={log}_{0,04}0,2=\frac {1} {2}$

${log}_{0,04}0,2={log}_{\frac {4} {100}}\frac {2} {10}={log}_{\frac {1} {25}}\frac {1} {5}$

${(\frac {1} {25})}^{x}=\frac {1} {5}$

${{((\frac {1} {5})}^{2})}^{x}={(\frac {1} {5})}^{1}$

$2x=1\, \, \, \, |\div 2$

$x=\frac {1} {2}$

UWAGA: obliczając logarytmy warto zamienić ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe.

$c)$ ${log}_{0,2}0,1+{log}_{0,2}0,08={log}_{0,2}(0,1\times 0,08)={log}_{0,2}0,008=3$

${log}_{0,2}0,1+{log}_{0,2}0,08={log}_{\frac {2} {10}}(\frac {1} {10}\times \frac {8} {100})={log}_{\frac {2} {10}}\frac {8} {1000}={log}_{\frac {1} {5}}\frac {1} {125}=3$

Zadanie 6

Oblicz:

$a)\, {log}_{12}2+{log}_{12}8+{log}_{12}9$

$b)\, log1+log10+log100$

$c)\, {log}_{4}16+{log}_{4}2+{log}_{4}8$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${log}_{12}2+{log}_{12}8+{log}_{12}9={log}_{12}(2\times 8)+{log}_{12}9={log}_{12}(16\times 9)={log}_{12}144=2$

WSKAZÓWKI:

${log}_{12}2+{log}_{12}8+{log}_{12}9={log}_{12}(2\times 8)+{log}_{12}9$

${log}_{12}(2\times 8)+{log}_{12}9={log}_{12}(16\times 9)$

1. Skorzystaj ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie. Pamiętaj o kolejności wykonywania działań ( jeżeli w wyrażeniu występuje tylko dodawanie to działania wykonujemy od lewej strony do prawej)

${log}_{12}(16\times 9)={log}_{12}144$

${log}_{12}144=2\, \, \, \, \leftrightarrow \, \, \, \, {12}^{2}=144$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu.

$b)$ $log1+log10+log100=log(1\times 10)+log100=log(10\times 100)=log1000=3$

$c)$ ${log}_{4}16+{log}_{4}2+{log}_{4}8={log}_{4}(16\times 2)+{log}_{4}8={log}_{4}(32\times 8)={log}_{4}256=4$

Zadanie 7

Oblicz:

$a)\, {log}_{3}\frac {1} {12}+{log}_{3}\frac {14} {15}+{log}_{3}\frac {10} {21}$

$b)\, {log}_{2}27+{log}_{2}\frac {2} {9}+{log}_{2}\frac {2} {3}$

$c)\, {log}_{6}34+{log}_{6}\frac {2} {17}+{log}_{6}9$

ROZWIĄZANIE:

$a){log}_{3}\frac {1} {12}+{log}_{3}\frac {14} {15}+{log}_{3}\frac {10} {21}={log}_{3}(\frac {1} {12}\times \frac {14} {15})+{log}_{3}\frac {10} {21}={log}_{3}(\frac {14} {180}\times \frac {10} {21})={log}_{3}\frac {140} {3780}={log}_{3}\frac {1} {27}=-3$

WSKAZÓWKI:

${log}_{3}\frac {1} {12}+{log}_{3}\frac {14} {15}+{log}_{3}\frac {10} {21}={log}_{3}(\frac {1} {12}\times \frac {14} {15})+{log}_{3}\frac {10} {21}$

${log}_{3}(\frac {1} {12}\times \frac {14} {15})+{log}_{3}\frac {10} {21}={log}_{3}(\frac {14} {180}\times \frac {10} {21})$

1. Skorzystaj ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie.

${log}_{3}(\frac {14} {180}\times \frac {10} {21})={log}_{3}\frac {140} {3780}={log}_{3}\frac {1} {27}$

${log}_{3}\frac {1} {27}=-3\, \, \leftrightarrow \, \, {3}^{-3}={(\frac {1} {3})}^{3}=\frac {1} {27}$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu.

Pamiętaj, że gdy mnożysz ułamki możesz je uprościć (skrócić).

${b)\, log}_{2}27+{log}_{2}\frac {2} {9}+{log}_{2}\frac {2} {3}={log}_{2}(27\times \frac {2} {9})+{log}_{2}\frac {2} {3}={log}_{2}(\frac {54} {9}\times \frac {2} {3})={log}_{2}\frac {108} {27}={log}_{2}4=2$

${c)\, log}_{6}34+{log}_{6}\frac {2} {17}+{log}_{6}9={log}_{6}(34\times \frac {2} {17})+{log}_{6}9={log}_{6}(\frac {68} {17}\times 9)={log}_{6}{\frac {612} {17}=log}_{6}36=2$

Zadanie 8

Oblicz:

$a)\, {log}_{3}54-{log}_{3}2$

$b)\, {log}_{4}12-{log}_{4}3$

$c)\, {log}_{6}72-{log}_{6}2$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${log}_{3}54-{log}_{3}2={log}_{3}(54\div 2)={log}_{3}27=3$

WSKAZÓWKI:

${log}_{a}b-{log}_{a}c={log}_{a}(\frac {b} {c})$

${log}_{3}54-{log}_{3}2={log}_{3}(54\div 2)$

${log}_{3}(54\div 2)={log}_{3}27$

1. Skorzystaj ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie.

Odejmując od siebie dwa logarytmy o tej samej podstawie otrzymujemy jeden logarytm o tej samej podstawie z liczby logarytmowanej, która jest ilorazem (dzieleniem) liczb logarytmowanych.

${log}_{3}27=3$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu.

$b)$ ${log}_{4}12-{log}_{4}3={log}_{4}(12\div 3)={log}_{4}4=1$

$c)$ ${log}_{6}72-{log}_{6}2={log}_{6}(72\div 2)={log}_{6}36=2$

Zadanie 9

Oblicz:

$a){log}_{5}15-{log}_{5}75$

$b)\, {log}_{2}4-{log}_{2}8$

$c)\, {log}_{6`}36-{log}_{6}216$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${log}_{5}15-{log}_{5}75={log}_{5}(\frac {15} {75})={log}_{5}\frac {1} {5}=-1$

WSKAZÓWKI:

${log}_{5}15-{log}_{5}75={log}_{5}(\frac {15} {75})$

${log}_{5}(\frac {15} {75})={log}_{5}\frac {1} {5}$

1. Skorzystaj ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie.

${log}_{5}\frac {1} {5}=-1\, \, \, \leftrightarrow \, \, \, {5}^{-1}={(\frac {1} {5})}^{1}=\frac {1} {5}$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu.

$b)\,$ ${log}_{2}4-{log}_{2}8={log}_{2}(\frac {4} {8})={log}_{2}\frac {1} {2}=-1$

$c)$ ${log}_{6`}36-{log}_{6}216={log}_{6}(\frac {36} {216})={log}_{6}\frac {1} {6}=-1$

Zadanie 10

Oblicz:

$a)\, log1000-log10$

$b)\, log10-log1$

$c)\, log100-log100$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ $log1000-log10=log(1000\div 10)=log100=2$

WSKAZÓWKI:

$log1000-log10=log(1000\div 10)$

$log(1000\div 10)=log100$

1. Skorzystaj ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie.

$log100=2$

${10}^{2}=100$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu.

Pamiętaj, że jeśli w zapisie logarytmu nie ma wyraźnie określonej podstawy to przyjmujemy, że jest ona równa 10 (jest to tzw. logarytm dziesiętny).

$b)\,$ $log10-log1=log(10\div 1)=log10=1$

$c)\,$ $log100-log100=log(100\div 100)=log1=0$

Zadanie 11

Oblicz:

$a)\, {log}_{\frac {1} {2}}3,5-{log}_{\frac {1} {2}}7$

$b)\, {log}_{\frac {1} {2}}0,6-{log}_{\frac {1} {2}}0,15$

$c)\, {log}_{\frac {1} {3}}5,4-{log}_{\frac {1} {3}}0,2$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${log}_{\frac {1} {2}}3,5-{log}_{\frac {1} {2}}7={log}_{\frac {1} {2}}(3,5\div 7)={log}_{\frac {1} {2}}0,5=1$

WSKAZÓWKI:

${log}_{\frac {1} {2}}3,5-{log}_{\frac {1} {2}}7={log}_{\frac {1} {2}}(3,5\div 7)$

1. Skorzystaj ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie.

${log}_{a}a=1$

${log}_{\frac {1} {2}}0,5={log}_{\frac {1} {2}}\frac {1} {2}=1$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu oraz z zależności:

$b)\,$ $\, {log}_{\frac {1} {2}}0,6-{log}_{\frac {1} {2}}0,15={log}_{\frac {1} {2}}(0,6\div 0,15)={log}_{\frac {1} {2}}4=-2$

$c)\,$ ${log}_{\frac {1} {3}}5,4-{log}_{\frac {1} {3}}0,2={log}_{\frac {1} {3}}(5,4\div 0,2)={log}_{\frac {1} {3}}27=-3$

Zadanie 12

Oblicz:

$a)\, log4-log16-log25$

$b)\, {log}_{2}256-{log}_{2}16-{log}_{2}8$

$c)\, {log}_{3}81-{log}_{3}1-{log}_{3}9$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ $log4-log16-log25=log(4\div 16)-log25=log(\frac {4} {16}\div \frac {25} {1})=log(\frac {4} {16}\times \frac {1} {25})=log\frac {1} {100}=-2$

WSKAZÓWKI:

$log4-log16-log25=log(4\div 16)-log25$

$log(4\div 16)-log25=log(\frac {4} {16}\div \frac {25} {1})$

$log(\frac {4} {16}\div \frac {25} {1})=log(\frac {4} {16}\times \frac {1} {25})=log\frac {4} {400}=log\frac {1} {100}$

1. Skorzystaj ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie.

Działania wykonuj stopniowo od lewej do prawej strony zgodnie z zasadą kolejności wykonywania działań.

$log\frac {1} {100}=-2\, \, \, \, \leftrightarrow \, \, \, \, {10}^{-2}={(\frac {1} {10})}^{2}=\frac {1} {100}$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu.

$b)\,$ ${log}_{2}256-{log}_{2}16-{log}_{2}8={log}_{2}(256\div 16)-{log}_{2}8={log}_{2}16-{log}_{2}8={log}_{2}(16\div 8)={log}_{2}2=1$ $c)\,$ ${log}_{3}81-{log}_{3}1-{log}_{3}9={log}_{3}(81\div 1)-{log}_{3}9={log}_{3}81-{log}_{3}9={log}_{3}(81\div 9)={log}_{3}9=2$

Zadanie 13

Oblicz:

$a)\, {log}_{4}10-{log}_{4}5+{log}_{4}8$

$b)\, log125+log4-log5$

$c)\, {log}_{2}6+{log}_{2}8-{log}_{2}3$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${log}_{4}10-{log}_{4}5+{log}_{4}8={log}_{4}(10\div 5)+{log}_{4}8={log}_{4}2+{log}_{4}8={log}_{4}(2\times 8)={log}_{4}16=2$

WSKAZÓWKI:

${log}_{4}10-{log}_{4}5+{log}_{4}8={log}_{4}(10\div 5)+{log}_{4}8$

1. Skorzystaj ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie.

${log}_{4}(10\div 5)+{log}_{4}8={log}_{4}2+{log}_{4}8$

${log}_{4}2+{log}_{4}8={log}_{4}(2\times 8)={log}_{4}16$

2. Skorzystaj ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie.

${log}_{4}16=2\, \, \, \, \leftrightarrow \, \, \, \, {4}^{2}=16$

3. Skorzystaj z definicji logarytmu.

$b)\,$ $log125+log4-log5=log(125\times 4)-log5=log500-log5=log(500\div 5)=log100=2$

$c)\,$ ${log}_{2}6+{log}_{2}8-{log}_{2}3={log}_{2}(6\times 8)-{log}_{2}3={log}_{2}48-{log}_{2}3={log}_{2}(48\div 3)={log}_{2}16=4$

Zadanie 14

Oblicz:

$a)\, 2log5+log4-log{10}^{4}$

$b)\, 3log2-log80+6log1$

$c)\, 3{log}_{3}9-{log}_{3}81+2{log}_{3}3$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ $2log5+log4-log{10}^{4}=log{5}^{2}+log4-log{10}^{4}$

$log{5}^{2}+log4-log{10}^{4}=log25+log4-log10000$

$log25+log4-log10000=log(25\times 4)-log10000=log100-log10000$

$log100-log10000=log(\frac {100} {10000})=log\frac {1} {100}=-2$

WSKAZÓWKI:

${log}_{a}{b}^{n}=n\cdot {log}_{a}b$

$2log5+log4-log{10}^{4}=log{5}^{2}+log4-log{10}^{4}$

$log{5}^{2}+log4-log{10}^{4}=log25+log4-log10000$

1. Skorzystaj z twierdzenia o logarytmie potęgi aby przekształcić logarytm.

Jeśli chcesz przekształcić logarytm musisz zamienić liczbę znajdującą się tuż przed logarytmem na wykładnik liczby logarytmowanej.

$log25+log4-log10000=log(25\times 4)-log10000$

$log(25\times 4)-log10000=log100-log10000$

2. Skorzystaj ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie.

$log100-log10000=log(\frac {100} {10000})=log\frac {1} {100}$

3. Skorzystaj ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie.

$b)\,$ $3log2-log80+6log1={log2}^{3}-log80+{log1}^{6}$

${log2}^{3}-log80+{log1}^{6}=log8-log80+log1$

$log8-log80+log1=log(\frac {8} {80})+log1$

$log(\frac {8} {80})+log1=log(\frac {8} {80}\times \frac {1} {1})=log\frac {8} {80}=log\frac {1} {10}=-1$

$c)$ $3{log}_{3}9-{log}_{3}81+2{log}_{3}3={log}_{3}{9}^{3}-{log}_{3}81+{log}_{3}{3}^{2}$

${log}_{3}{9}^{3}-{log}_{3}81+{log}_{3}{3}^{2}={log}_{3}729-{log}_{3}81+{log}_{3}9$

${log}_{3}729-{log}_{3}81+{log}_{3}9={log}_{3}(\frac {729} {81})+{log}_{3}9$

${log}_{3}(\frac {729} {81})+{log}_{3}9={log}_{3}9+{log}_{3}9={log}_{3}(9\times 9)$

${log}_{3}(9\times 9)={log}_{3}81=4$

Course Features

Lectures 0
Quizzes 0
Duration 50 hours
Skill level All levels
Language English
Students 0
Assessments Yes

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Logarytm potęgi

Students

Free

LICEUM / TECHNIKUM

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Course Features

Podobne zadania

Logarytm potęgi

Zostaw komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi