Środek odcinka

Teacher

Żaneta Szczyglak

Temat: Środek odcinka.

Środkiem odcinka AB jest punkt o współrzędnych:

$S=(\frac {{x}_{A}+{x}_{B}} {2},\, \frac {{y}_{A}+{y}_{B}} {2})$

Zadanie 1

Wyznacz współrzędne środka odcinka AB, jeśli:

$a)\, A=(-2,\, 4),\, B=(6,-8)$

$b)\, A=(-1,\, 3),\, B=(5,\, 7)$

ROZWIĄZANIE

$S=(\frac {{x}_{A}+{x}_{B}} {2},\, \frac {{y}_{A}+{y}_{B}} {2})$

$a)$

$S=(\frac {-2+6} {2},\, \frac {4+(-8)} {2})=(\frac {4} {2},\, \frac {-4} {2})=(2,-2)$

$b)$

$S=(\frac {-1+5} {2},\, \frac {3+7} {2})=(\frac {4} {2},\, \frac {10} {2})=(2,\, 5)$

Zadanie 2

Dany

jest

odcinek AB

taki, że

$A=(6,-4)\, i\, B=(10,\, 0).$

a) Oblicz długość tego odcinka.

b) Wyznacz współrzędne jego środka.

ROZWIĄZANIE:

Jeśli nie pamiętasz wzoru na długość odcinka kliknij w rozwiązanie z przykładu a) – zostaniesz przeniesiony na stronę “Długość odcinka w układzie współrzędnych”, w którym to zagadnienie zostało wyjaśnione.

$a)$

$|AB|=\sqrt {{(10-6)}^{2}+{(0-(-4))}^{2}}=\sqrt {{4}^{2}+{4}^{2}}=\sqrt {16+16}=\sqrt {32}=4\sqrt {2}$

$b)$

$S=(\frac {{x}_{A}+{x}_{B}} {2},\, \frac {{y}_{A}+{y}_{B}} {2})$

$S=(\frac {6+10} {2},\, \frac {-4+0} {2})=(\frac {16} {2},\, \frac {-4} {2})=(8,-2)$

Zadanie 3

Punkty

$A=(-3,-2)\, i\, B=(1,\, 4)$

są

końcami

odcinka AB.

Oblicz

długość

odcinka i

współrzędne

punktu

$S$

który

jest

środkiem

tego

odcinka.

ROZWIĄZANIE:

$|AB|=\sqrt {{(1-(-3))}^{2}+{(4-(-2))}^{2}}=\sqrt {{4}^{2}+{6}^{2}}=\sqrt {16+36}=\sqrt {52}=2\sqrt {13}$

$S=(\frac {{x}_{A}+{x}_{B}} {2},\, \frac {{y}_{A}+{y}_{B}} {2})$

$S=(\frac {-3+1} {2},\, \frac {-2+4} {2})=(\frac {-2} {2},\, \frac {2} {2})=(-1,\, 1)$

Zadanie 4

Dany jest odcinek AB taki, że

$A=(-4,-3)\, i\, B=(12,-3).$

Symetralna

tego

odcinka

przecina

w punkcie

współrzędnych?

ROZWIĄZANIE:

Pan Profesor przypomina:

Symetralna odcinka jest to prosta, która dzieli odcinek na dwie równe części i jest do tego odcinka prostopadła.

$S=(\frac {{x}_{A}+{x}_{B}} {2},\, \frac {{y}_{A}+{y}_{B}} {2})$

$S=(\frac {-4+12} {2},\, \frac {-3+(-3)} {2})=(\frac {8} {2},\, \frac {-6} {2})=(4,\, -3)$

Zadanie 5

Dany jest punkt

$A=(4,\, 5).$

Wyznacz

współrzędne

punktu B,

jeśli

punkt S

jest

środkiem

odcinka AB.

$a)\, S=(-2,\, 3)$

$b)\, S=(6,\, 7)$

$c)\, S=(-3,\, 1)$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$A=(4.\, 5)\, ;\, B=({x}_{B},\, {y}_{B})$

$S=(\frac {4+{x}_{B}} {2},\, \frac {5+{y}_{B}} {2})=(-2,\, 3)$

$\frac {4+{x}_{B}} {2}=-2,\, \, \, \frac {5+{y}_{B}} {2}=3$

$4+{x}_{B}=-4,\, \, \, 5+{y}_{B}=6$

${x}_{B}=-8,\, \, \, {y}_{B}=1$

$B=(-8,\, 1)$

WSKAZÓWKI:

$A=(4.\, 5)\, ;\, B=({x}_{B},\, {y}_{B})$

1. Nie znamy współrzędnych punktu B więc zapisujemy je jako:

$S=(\frac {4+{x}_{B}} {2},\, \frac {5+{y}_{B}} {2})=(-2,\, 3)$

2. Do wzoru na współrzędne środka podstawiamy współrzędne punktu A i zapisujemy zależność:

$\frac {4+{x}_{B}} {2}=-2,\, \, \, \frac {5+{y}_{B}} {2}=3$

3. Układamy dwa równania przyrównując odpowiadające sobie współrzędne.

$\frac {4+{x}_{B}} {2}=-2\, |\times 2$

$\frac {5+{y}_{B}} {2}=3\, |\times 2$

4. Pozbywamy się ułamka mnożąc obie strony równania przez liczby znajdujące się w mianownikach obu wyrażeń.

$4+{x}_{B}=-4,\, \, \, 5+{y}_{B}=6$

${x}_{B}=-8,\, \, \, {y}_{B}=1$

5. Przenosimy wiadome na prawą stronę równania zmieniając znak na przeciwny, wykonujemy obliczenia i zapisujemy wyniki.

$B=(-8,\, 1)$

6. Zapisujemy współrzędne punktu B.

$b)$

$A=(4.\, 5)\, ;\, B=({x}_{B},\, {y}_{B})$

$S=(\frac {4+{x}_{B}} {2},\, \frac {5+{y}_{B}} {2})=(6,\, 7)$

$\frac {4+{x}_{B}} {2}=6,\, \, \, \frac {5+{y}_{B}} {2}=7$

$4+{x}_{B}=12,\, \, \, 5+{y}_{B}=14$

${x}_{B}=8,\, \, \, {y}_{B}=9$

$B=(8,\, 9)$

$c)$

$A=(4.\, 5)\, ;\, B=({x}_{B},\, {y}_{B})$

$S=(\frac {4+{x}_{B}} {2},\, \frac {5+{y}_{B}} {2})=(-3,\, 1)$

$\frac {4+{x}_{B}} {2}=-3,\, \, \, \frac {5+{y}_{B}} {2}=1$

$4+{x}_{B}=-6,\, \, \, 5+{y}_{B}=2$

${x}_{B}=-10,\, \, \, {y}_{B}=-3$

$B=(-10,-3)$

Zadanie 6

Punkt

$S=(-4,\, 7)$

jest środkiem

odcinka PQ,

gdzie

$Q=(17,\, 12).$

Zatem

punkt P

współrzędne?

ROZWIĄZANIE:

$S=(\frac {17+{x}_{P}} {2},\, \frac {12+{y}_{P}} {2})=(-4,\, 7)$

$\frac {17+{x}_{P}} {2}=-4,\, \, \, \frac {12+{y}_{P}} {2}=7$

$17+{x}_{P}=-8,\, \, \, 12+{y}_{P}=14$

${x}_{P}=-25,\, \, \, {y}_{P}=2$

$P=(-25,\, 2)$

Zadanie 7

Środkiem odcinka

AB jest punkt

$S=(1,\, 2).$

Oblicz

długość

odcinka

jeśli

$A=(x,-4),\, B=(5,\, y)$

ROZWIĄZANIE:

$S=(\frac {x+5} {2},\, \frac {-4+y} {2})=(1,\, 2)$

$\frac {x+5} {2}=1,\, \, \, \frac {-4+y} {2}=2$

$x+5=2,\, \, -4+y=4$

$x=-3,\, \, y=8$

$A=(-3,-4),\, B=(5,\, 8)$

Zadanie 8

Punkt

$S=(4,\, 1)$

jest

środkiem

odcinka

AB,

gdzie

$A=(a,\, 0)\, i\, B=(a+3,\, 2).$

Oblicz a.

ROZWIĄZANIE:

$\frac {a+a+3} {2}=4$

$a+a+3=8$

$2a+3=8$

$2a=5\, |\div 2$

$a=\frac {5} {2}=2\frac {1} {2}$

WSKAZÓWKI:

$\frac {a+a+3} {2}=4$

1. Zauważ, że niewiadoma a występuje tylko we współrzędnej “iksowej” punktów A i B w związku z tym do wzoru na środek odcinka podstawiamy pierwszą współrzędna punktu A i pierwszą współrzędną punktu B i przyrównujemy do pierwszej współrzędnej punktu S.

$a+a+3=8$

2. Mnożymy obie strony równania przez 2 aby pozbyć się ułamka.

$2a+3=8$

3. Dodajemy do siebie wyrazy podobne.

$2a=5\, |\div 2$

$a=\frac {5} {2}=2\frac {1} {2}$

4. Po lewej stronie zostawiamy tylko niewiadomą a wiadome przenosimy na prawą stronę równania. Obie strony dzielimy przez liczbę znajdującą się przy a.

Zadanie 9

Punkt

$S=(5,\, 6)$

jest

środkiem

odcinka

AB.

Oblicz

długość

odcinka

AB,

jeśli

punkt

leży

osi

OY,

a rzędna

punktu

B jest

równa 7.

Pan Profesor przypomina:

Odcięta – to pierwsza współrzędna w kartezjańskim układzie współrzędnych; oznaczana symbolem x;

Rzędna – to druga współrzędna w kartezjańskim układzie współrzędnych; oznaczana symbolem y.

ROZWIĄZANIE:

$A=(0,\, {y}_{A}),\, \, B=({x}_{B},\, 7)$

$S=(\frac {0+{x}_{B}} {2},\, \frac {{y}_{A}+7} {2})=(5,\, 6)$

$\frac {0+{x}_{B}} {2}=5,\, \, \, \frac {{y}_{A}+7} {2}=6$

$0+{x}_{B}=10,\, \, \, {y}_{A}+7=12$

${x}_{B}=10,\, \, \, {y}_{A}=5$

$A=(0,\, 5),\, \, B=(10,\, 7)$

$|AB|=\sqrt {{(10-0)}^{2}+{(7-5)}^{2}}=\sqrt {{10}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt {100+4}=\sqrt {104}=2\sqrt {26}$

Zadanie 10

Punkt

$P=(-3,\, 5)$

jest środkiem odcinka AB.

Wyznacz

współrzędne

punktu A i B,

jeżeli

punkt A

leży na osi OX a

punkt B – na osi OY.

ROZWIĄZANIE:

Jeśli dany punkt leży na osi OX to jego druga współrzędna jest równa zero. Jeśli natomiast punkt leży na osi OY to jego pierwsza współrzędna wynosi zero. Dlatego w tym zadaniu pomimo tego, że nie mamy teoretycznie podanych żadnych współrzędnych możemy zapisać druga współrzędną punktu A i pierwszą współrzędną punktu B.

$A=({x}_{A},\, 0),\, \, B=(0,\, {y}_{B})$

$S=(\frac {{x}_{A}+0} {2},\, \frac {0+{y}_{B}} {2})=(-3,\, 5)$

$\frac {{x}_{A}+0} {2}=-3,\, \, \frac {0+{y}_{B}} {2}=5$

${x}_{A}+0=-6,\, \, 0+{y}_{B}=10$

${x}_{A}=-6,\, \, \, {y}_{B}=10$

$A=(-6,\, 0),\, \, B=(0,\, 10)$

Course Features

Lectures 0
Quizzes 0
Duration 50 hours
Skill level All levels
Language English
Students 0
Assessments Yes

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej

Students

Free

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Wariacje bez powtórzeń

Students

Free

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Wprowadzenie do geometrii analitycznej

Students

Free

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Długość odcinka w układzie współrzędnych

Students

Free

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Proste równoległe i prostopadłe

Students

Free

Geometria analityczna

Środek odcinka

Temat: Środek odcinka.

Pan Profesor przypomina:

Pan Profesor przypomina:

Course Features

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej

Wariacje bez powtórzeń

Wprowadzenie do geometrii analitycznej

Długość odcinka w układzie współrzędnych

Proste równoległe i prostopadłe

Zostaw komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Geometria analityczna

Środek odcinka

Temat: Środek odcinka.

Pan Profesor przypomina:

Pan Profesor przypomina:

Course Features

Podobne zadania

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej

Wariacje bez powtórzeń

Wprowadzenie do geometrii analitycznej

Długość odcinka w układzie współrzędnych

Proste równoległe i prostopadłe

Zostaw komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi