Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Teacher

Żaneta Szczyglak

Categories

Funkcja kwadratowa, Funkcje, LICEUM / TECHNIKUM

Bezpłatne

Opis

Zadanie 1

Wyznacz (o ile istnieją) miejsca zerowe podanych funkcji kwadratowych:

$a)\, f(x)={x}^{2}+2x-3$

$b)\, {f(x)=x}^{2}-5x+6$

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej uzależniona jest od wartości delty (Δ), tzw. wyróżnika trójmianu kwadratowego:

Jeżeli Δ > 0 to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, które liczymy ze wzorów:

${x}_{1}=\frac {-b-\sqrt {\Delta }} {2a}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {x}_{2}=\frac {-b+\Delta } {2a}$

Jeżeli Δ = 0 to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe:

${x}_{0}=\frac {-b} {2a}$

Jeżeli Δ < 0 to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych.

ROZWIĄZANIE:

$f(x)={x}^{2}+2x-3$

${x}^{2}+2x-3=0$

$\Delta ={b}^{2}-4ac$

$\Delta ={2}^{2}-4\times 1\times (-3)=4+12=16$

$\sqrt {\Delta }=\sqrt {16}=4$

${x}_{1}=\frac {-b-\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-2-4} {2\times 1}=\frac {-6} {2}=-3$

${x}_{2}=\frac {-b+\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-2+4} {2\times 1}=\frac {2} {2}=1$

WSKAZÓWKI:

$f(x)={ax}^{2}+bx+c$

$f(x)={x}^{2}+2x-3$

$a=1,\, \, \, b=2,\, \, \, c=-3$

1. Wypisz wartości współczynników funkcji kwadratowej.

UWAGA: jeśli przed x² (tak jak w tym przypadku) lub przed x nie stoi żadna liczba to w domyśle znajduje się tam liczba 1 dlatego wartość współczynnika a zapisujemy jako 1 a nie jako 0.

${x}^{2}+2x-3=0$

$\Delta ={b}^{2}-4ac$

$\Delta ={2}^{2}-4\times 1\times (-3)=4+12=16$

2. Przyrównaj wzór funkcji kwadratowej do zera i oblicz deltę (Δ) tzw. wyróżnik trójmianu kwadratowego.

Pamiętaj aby zwracać uwagę na znaki, tzn. jeśli mnożysz przez siebie dwie liczby ujemne to w rezultacie otrzymasz liczbę dodatnią.

3. Określ ilość rozwiązań (miejsc zerowych) tej funkcji, których liczba uzależniona jest od wielkości delty – jeśli delta jest większa od 0 to funkcja ma dwa różne rozwiązania.

$\sqrt {\Delta }=\sqrt {16}=4$

4. Oblicz pierwiastek z delty.

${x}_{1}=\frac {-b-\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-2-4} {2\times 1}=\frac {-6} {2}=-3$

${x}_{2}=\frac {-b+\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-2+4} {2\times 1}=\frac {2} {2}=1$

5. Oblicz miejsca zerowe funkcji.

Odpowiedź: Funkcja kwadratowa ƒ(x) = x² + 2x –3 ma dwa miejsca zerowe.

$b)\, {f(x)=x}^{2}-5x+6$

ROZWIĄZANIE:

${f(x)=x}^{2}-5x+6$

$a=1,\, \, b=-5,\, \, c=6$

${x}^{2}-5x+6=0$

$\Delta ={b}^{2}-4ac$

$\Delta ={(-5)}^{2}-4\times 1\times 6=25-24=1$

$\sqrt {\Delta }=\sqrt {1}=1$

${x}_{1}=\frac {-b-\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-(-5)-1} {2\times 1}=\frac {5-1} {2}=\frac {4} {2}=2$

${x}_{2}=\frac {-b+\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-(-5)+1} {2\times 1}=\frac {5+1} {2}=\frac {6} {2}=3$

Odpowiedź: Funkcja kwadratowa ƒ(x) = x² – 5x + 6 ma dwa miejsca zerowe.

Zadanie 2

Oblicz miejsca zerowe funkcji kwadratowych:

$a)\, f(x)=-{x}^{2}+3x+4$

$b)\, f(x)={-2x}^{2}-8x+10$

ROZWIĄZANIE:

$f(x)=-{x}^{2}+3x+4$

$-{x}^{2}+3x+4=0$

$\Delta ={b}^{2}-4ac$

$\Delta ={3}^{2}-4\times (-1)\times 4=9+16=25$

$\sqrt {\Delta }=\sqrt {25}=5$

${x}_{1}=\frac {-b-\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-3-5} {2\times (-1)}=\frac {-8} {-2}=4$

${x}_{2}=\frac {-b+\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-3+5} {2\times (-1)}=\frac {2} {-2}=-1$

$f(x)={-2x}^{2}-8x+10$

${-2x}^{2}-8x+10=0$

$\Delta ={b}^{2}-4ac$

$\Delta ={(-8)}^{2}-4\times (-2)\times 10=64+80=144$

$\sqrt {\Delta }=\sqrt {144}=12$

${x}_{1}=\frac {-b-\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-(-8)-12} {2\times (-2)}=\frac {8-12} {-4}=\frac {-4} {-4}=1$

${x}_{2}=\frac {-b+\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-(-8)+12} {2\times (-2)}=\frac {8+12} {-4}=\frac {20} {-4}=-5$

Zadanie 3

Wyznacz (o ile istnieją) miejsca zerowe funkcji kwadratowych:

$a)\, f(x)={x}^{2}-6x+9$

$b)\, f(x)={-x}^{2}+2x-1$

ROZWIĄZANIE:

$f(x)={x}^{2}-6x+9$

$a=1,\, \, b=-6,\, \, c=9$

${x}^{2}-6x+9=0$

$\Delta ={b}^{2}-4ac$

$\Delta ={(-6)}^{2}-4\times 1\times 9=36-36=0$

$\Delta =0$

${x}_{0}=\frac {-b} {\, \, \, 2a}$

${x}_{0}=\frac {-(-6)} {2\times 1}=\frac {6} {2}=3$

WSKAZÓWKI:

$a=1,\, \, b=-6,\, \, c=9$

1. Wypisz wartości współczynników funkcji kwadratowej.

${x}^{2}-6x+9=0$

$\Delta ={(-6)}^{2}-4\times 1\times 9=36-36=0$

2. Przyrównaj wzór funkcji kwadratowej do zera i oblicz deltę (Δ) tzw. wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =0$

3. Określ ilość rozwiązań (miejsc zerowych) tej funkcji. Jeśli delta jest równa zeru to funkcja ma jedno miejsce zerowe.

${x}_{0}=\frac {-b} {\, \, \, 2a}$

${x}_{0}=\frac {-(-6)} {2\times 1}=\frac {6} {2}=3$

4. Oblicz miejsce zerowe funkcji kwadratowej.

$b)\, f(x)={-x}^{2}+2x-1$

ROZWIĄZANIE:

$f(x)={-x}^{2}+2x-1$

$a=-1,\, \, b=2,\, \, c=-1$

${-x}^{2}+2x-1=0$

$\Delta ={b}^{2}-4ac$

$\Delta ={2}^{2}-4\times (-1)\times (-1)=4-4=0$

$\Delta =0$

${x}_{0}=\frac {-b} {\, \, \, 2a}$

${x}_{0}=\frac {-2} {2\times (-1)}=\frac {-2} {-2}=1$

Zadanie 4

Wyznacz (o ile istnieją) miejsca zerowe funkcji kwadratowych:

$a)\, f(x)={x}^{2}+2x+6$

$b)\, f(x)=-{x}^{2}-4x-8$

ROZWIĄZANIE:

$f(x)={x}^{2}+2x+6$

$a=1,\, \, b=2,\, \, c=6$

${x}^{2}+2x+6=0$

$\Delta ={b}^{2}-4ac$

$\Delta ={2}^{2}-4\times 1\times 6=4-24=-20$

$\Delta <0$

WSKAZÓWKI:

$a=1,\, \, b=2,\, \, c=6$

1. Wypisz wartości współczynników funkcji kwadratowej.

${x}^{2}+2x+6=0$

$\Delta ={2}^{2}-4\times 1\times 6=4-24=-20$

2. Przyrównaj wzór funkcji do zera i oblicz deltę (Δ) tzw. wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta <0$

3. Określ ilość rozwiązań (miejsc zerowych) tej funkcji.

Delta mniejsza od zera – brak miejsc zerowych.

$b)\, f(x)=-{x}^{2}-4x-8$

ROZWIĄZANIE:

$f(x)=-{x}^{2}-4x-8$

$a=-1,\, \, b=-4,\, \, c=-8$

$-{x}^{2}-4x-8=0$

$\Delta ={b}^{2}-4ac$

$\Delta ={(-4)}^{2}-4\times (-1)\times (-8)=16-32=-16$

$\Delta <0$

Odpowiedź: Żadna z powyższych funkcji nie ma miejsc zerowych, ponieważ w obu przypadkach delta (wyróżnik trójmianu kwadratowego) jest mniejsza od zera.

Zadanie 5

Wyznacz miejsca zerowe podanych funkcji kwadratowych:

$a)\, f(x)={4x}^{2}-8x$

$b)\, f(x)={5x}^{2}+10x$

$c)\, f(x)={\frac {3} {4}x}^{2}-3x$

ROZWIĄZANIE:

SPOSÓB I

$f(x)={4x}^{2}-8x$

${4x}^{2}-8x=0$

$a=4,\, \, b=-8,\, \, c=0$

$\Delta ={b}^{2}-4ac$

$\Delta ={(-8)}^{2}-4\times 4\times 0=64-0=64$

$\sqrt {\Delta }=\sqrt {64}=8$

${x}_{1}=\frac {-b-\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-(-8)-8} {2\times 4}=\frac {8-8} {8}=\frac {0} {8}=0$

${x}_{2}=\frac {-b+\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-(-8)+8} {2\times 4}=\frac {8+8} {8}=\frac {16} {8}=2$

WSKAZÓWKI:

${4x}^{2}-8x=0$

$\Delta ={(-8)}^{2}-4\times 4\times 0=64-0=64$

1. Przyrównaj wzór funkcji do zera a następnie oblicz deltę.

${x}_{1}=\frac {-b-\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-(-8)-8} {2\times 4}=\frac {8-8} {8}=\frac {0} {8}=0$

${x}_{2}=\frac {-b+\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-(-8)+8} {2\times 4}=\frac {8+8} {8}=\frac {16} {8}=2$

2. Oblicz miejsca zerowe funkcji (tzw. pierwiastki trójmianu kwadratowego).

$f(x)={5x}^{2}+10x$

${5x}^{2}+10x=0$

$a=5,\, \, b=10,\, \, c=0$

$\Delta ={b}^{2}-4ac$

$\Delta ={10}^{2}-4\times 5\times 0=100-0=100$

$\sqrt {\Delta }=\sqrt {100}=10$

${x}_{1}=\frac {-b-\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-10-10} {2\times 5}=\frac {-20} {10}=-2$

${x}_{2}=\frac {-b+\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-10+10} {2\times 5}=\frac {0} {10}=0$

$f(x)={\frac {3} {4}x}^{2}-3x$

${\frac {3} {4}x}^{2}-3x=0$

$a=\frac {3} {4},\, \, b=-3,\, \, c=0$

$\Delta ={b}^{2}-4ac$

$\Delta ={(-3)}^{2}-4\times \frac {3} {4}\times 0=9-0=9$

$\sqrt {\Delta }=\sqrt {9}=3$

${x}_{1}=\frac {-b-\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-(-3)-3} {2\times \frac {3} {4}}=\frac {3-3} {\frac {6} {4}}=\frac {0} {\frac {6} {4}}=0$

${x}_{2}=\frac {-b+\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-(-3)+3} {2\times \frac {3} {4}}=\frac {3+3} {\frac {6} {4}}=\frac {6} {\frac {6} {4}}=4$

SPOSÓB II

${4x}^{2}-8x=0$

${4x}^{2}-8x=0\, \, /\div 4$

${x}^{2}-2x=0$

$x(x-2)=0$

$x=0\, \, lub\, \, x-2=0$

$x=0\, \, lub\, \, x=2$

WSKAZÓWKI:

${4x}^{2}-8x=0$

1. Przyrównaj wzór funkcji do zera.

${4x}^{2}-8x=0\, \, /\div 4$

${x}^{2}-2x=0$

2. Podziel równanie obustronnie przez 4 (nie jest to konieczne, jednak w przypadku “dużych” liczb ułatwia obliczenia).

$x(x-2)=0$

3. Wyciągnij wspólny czynnik przed nawias (żeby sprawdzić czy poprawnie wykonałeś ten element rozwiązania pomnóż czynnik przed nawiasem przez zawartość nawiasu i sprawdź czy uzyskałeś to samo co w równaniu wyżej).

$x=0\, \, lub\, \, x-2=0$

4. Przyrównaj do zera czynnik sprzed nawiasu a także wyrażenie w nawiasie.

$x=0\, \, lub\, \, x=2$

5. Oblicz wartość x.

$f(x)={5x}^{2}+10x$

${5x}^{2}+10x=0$

${5x}^{2}+10x=0\, \, /\div 5$

${x}^{2}+2x=0$

$x(x+2)=0$

$x=0\, \, lub\, \, x+2=0$

$x=0\, \, lub\, \, x=-2$

$f(x)={\frac {3} {4}x}^{2}-3x$

${\frac {3} {4}x}^{2}-3x=0$

$x(\frac {3} {4}x-3)=0$

$x=0\, \, lub\, \, \frac {3} {4}x-3=0$

$x=0\, \, lub\, \, \frac {3} {4}x=3\, /\div \frac {3} {4}$

$x=0\, \, lub\, \, x=\frac {3} {1}\div \frac {3} {4}=\frac {3} {1}\times \frac {4} {3}=4$

Zadanie 6

Wyznacz miejsca zerowe podanych funkcji kwadratowych:

$a)\, f(x)={9x}^{2}-81$

$b)\, f(x)={-4x}^{2}+20$

$c)\, f(x)={-\frac {2} {5}x}^{2}-1$

Każdy z trzech powyższych przykładów możemy rozwiązać dwoma sposobami – obliczając deltę a następnie miejsca zerowe (o ile istnieją) lub rozwiązując równanie kwadratowe. Obie metody obliczeń są poprawne a ich wybór zależy od Ciebie (osobiście rekomenduję drugi sposób ze względu na to, że jest zwyczajnie łatwiejszy). Jeśli wolisz stosować wzór na deltę musisz jedynie pamiętać, że współczynnik b w tych przykładach wynosi 0, natomiast jeśli wybierzesz drugą metodę pamiętaj aby przenosząc wyrażenia na drugą stronę równania zmienić znak na przeciwny.

ROZWIĄZANIE:

SPOSÓB I

$f(x)={9x}^{2}-81$

${9x}^{2}-81=0$

${9x}^{2}-81=0\, \, /\div 9$

${x}^{2}-9=0$

$\Delta ={b}^{2}-4ac$

$\Delta ={0}^{2}-4\times 1\times (-9)=0+36=36$

$\sqrt {\Delta }=\sqrt {36}=6$

${x}_{1}=\frac {-b-\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-0-6} {2\times 1}=\frac {-6} {2}=-3$

${x}_{2}=\frac {-b+\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-0+6} {2\times 1}=\frac {6} {2}=3$

ROZWIĄZANIE:

SPOSÓB II

$f(x)={9x}^{2}-81$

${9x}^{2}-81=0\, \, /\div 9$

${x}^{2}-9=0$

${x}^{2}=9$

$x=3\, \, lub\, \, x=-3$

WSKAZÓWKI:

${9x}^{2}-81=0\, \, /\div 9$

${x}^{2}-9=0$

1. Przyrównaj wzór funkcji do zera. Możesz wykonać dzielenie obustronne równania aby ułatwić liczenie. (dzielimy przez 9 dlatego, że jest największym wspólnym dzielnikiem 9 i 81)

${x}^{2}=9$

2. Uporządkuj równanie. Niewiadome zostaw po jednej stronie równania a wiadome przenieś na drugą stronę.

$x=3\, \, lub\, \, x=-3$

${3}^{2}=9\, \, \, \, \, \, \, \, {(-3)}^{2}=9$

3. Oblicz x. Zastanów się jaką/jakie liczby należy podnieść do kwadratu aby uzyskać liczbę 9. Nie zapominaj, że liczba ujemna podniesiona do potęgi parzystej daje liczbę dodatnią dlatego rozwiązaniem jest zarówno 3 jak i – 3.

$f(x)={-4x}^{2}+20$

${-4x}^{2}+20=0\, \, /\div (-4)$

${x}^{2}-5=0$

${x}^{2}=5$

$x=\sqrt {5}\, \, lub\, \, x=-\sqrt {5}$

$f(x)={-\frac {2} {5}x}^{2}-1$

${-\frac {2} {5}x}^{2}-1=0$

${-\frac {2} {5}x}^{2}=1\, \, /\div (-\frac {2} {5})$

${x}^{2}=1\times (-\frac {5} {2})$

${x}^{2}=-\frac {5} {2}$

Zadanie 7

Wyznacz miejsca zerowe podanych funkcji kwadratowych:

$a)\, f(x)=(x-1)(x+5)$

$b)\, f(x)=3(x-2)(x+4)$

ROZWIĄZANIE:

$f(x)=(x-1)(x+5)$

$(x-1)(x+5)=0$

$x-1=0\, \, lub\, \, x+5=0$

$x=1\, \, lub\, \, x=-5$

WSKAZÓWKI:

$(x-1)(x+5)=0$

1. Przyrównaj wzór funkcji do zera.

$x-1=0\, \, lub\, \, x+5=0$

2. Przyrównaj do zera osobno każdy z nawiasów bowiem jeśli któryś z nawiasów będzie równy zeru to ich iloczyn również będzie równy zero.

$x=1\, \, lub\, \, x=-5$

3. Oblicz x.

$b)\, f(x)=3(x-2)(x+4)$

ROZWIĄZANIE:

$f(x)=3(x-2)(x+4)$

$3(x-2)(x+4)=0$

$x-2=0\, \, lub\, \, x+4=0$

$x=2\, \, lub\, \, x=-4$

Zadanie 8

Wyznacz miejsca zerowe:

$a)\, f(x)=-\frac {2} {3}(x+9)(x-1)$

$b)\, f(x)=-\frac {1} {2}(x-2\sqrt {2})(x+3\sqrt {2})$

ROZWIĄZANIE:

$f(x)=-\frac {2} {3}(x+9)(x-1)$

$-\frac {2} {3}(x+9)(x-1)=0$

$x+9=0\, \, lub\, \, x-1=0$

$x=-9\, \, lub\, \, x=1$

$f(x)=-\frac {1} {2}(x-2\sqrt {2})(x+3\sqrt {2})$

$-\frac {1} {2}(x-2\sqrt {2})(x+3\sqrt {2})=0$

$x-2\sqrt {2}=0\, \, lub\, \, x+3\sqrt {2}=0$

$x=2\sqrt {2}\, \, lub\, \, x=-3\sqrt {2}$

UWAGA: Bez względu na to czy przed nawiasami w postaci iloczynowej stoi liczba dodatnia, ujemna, ułamek czy pierwiastek – bierzemy pod uwagę jedynie zawartość nawiasów i tylko nawiasy przyrównujemy do zera. Dlaczego? Otóż równie dobrze moglibyśmy “pozbyć się” liczby przed nawiasem dzieląc całe wyrażenie przez tą liczbę (co nie wpłynęłoby oczywiście na zmianę wyniku końcowego).

Zadanie 9

Wyznacz miejsca zerowe:

$a)\, f(x)={(x-1)}^{2}-4$

$b)\, f(x)=-1{(x+3)}^{2}+9$

ROZWIĄZANIE:

$f(x)={(x-1)}^{2}-4$

$f(x)=({x}^{2}-2\times x\times 1+{1}^{2})-4$

$f(x)={x}^{2}-2x+1-4$

$f(x)={x}^{2}-2x-3$

${x}^{2}-2x-3=0$

$\Delta ={b}^{2}-4ac$

$\Delta ={(-2)}^{2}-4\times 1\times (-3)=4+12=16$

$\sqrt {\Delta }=\sqrt {16}=4$

${x}_{1}=\frac {-b-\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-(-2)-4} {2\times 1}=\frac {2-4} {2}=\frac {-2} {2}=-1$

${x}_{2}=\frac {-b+\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-(-2)+4} {2\times 1}=\frac {2+4} {2}=\frac {6} {2}=3$

WSKAZÓWKI:

$f(x)={(x-1)}^{2}-4$

$f(x)=({x}^{2}-2\times x\times 1+{1}^{2})-4$

$f(x)={x}^{2}-2x+1-4$

$f(x)={x}^{2}-2x-3$

1. Zamień postać kanoniczną funkcji kwadratowej na postać ogólną.

Podnieś do kwadratu zawartość nawiasu korzystając ze wzorów skróconego mnożenia (wzór na kwadrat różnicy) a następnie uporządkuj równanie.

${x}^{2}-2x-3=0$

$\Delta =16$

${x}_{1}=-1,\, \, \, {x}_{2}=3$

2. Przyrównaj wzór funkcji do zera a następnie oblicz deltę i miejsca zerowe funkcji.

$b)\, f(x)=-1{(x+3)}^{2}+9$

ROZWIĄZANIE:

$f(x)=-1{(x+3)}^{2}+9$

$f(x)=-1({x}^{2}+2\times x\times 3+{3}^{2})+9$

$f(x)=-1({x}^{2}+6x+9)+9$

$f(x)=-{x}^{2}-6x-9+9$

$f(x)=-{x}^{2}-6x$

$-{x}^{2}-6x=0$

$x(-x-6)=0$

$x=0\, \, lub\, \, -x-6=0$

$x=0\, \, lub\, \, x=-6$

WSKAZÓWKI:

$f(x)=-1{(x+3)}^{2}+9$

$f(x)=-1({x}^{2}+6x+9)+9$

$f(x)=-{x}^{2}-6x-9+9$

$f(x)=-{x}^{2}-6x$

1. Zamień postać kanoniczną funkcji kwadratowej na postać ogólną.

Zauważ, że jeśli przed nawiasem stoi liczba ujemna to mnożąc zawartość nawiasu przez tę liczbę należy zmienić znak na przeciwny.

$-{x}^{2}-6x=0$

$x(-x-6)=0$

$x=0\, \, lub\, \, -x-6=0$

$x=0\, \, lub\, \, x=-6$

2. Wyciągnij wspólny czynnik przed nawias a następnie przyrównaj do zera zarówno zawartość nawiasu jak i czynnik przed nawiasem.

Aby obliczyć miejsca zerowe tej funkcji można również skorzystać z delty jednak zaprezentowany sposób jest zdecydowanie łatwiejszy w tym przypadku.

Zadanie 10

Wyznacz miejsca zerowe:

$a)\, f(x)=-9{(x+2)}^{2}+36$

$b)\, f(x)=-\frac {1} {2}{(x+7)}^{2}-1$

ROZWIĄZANIE:

$f(x)=-9{(x+2)}^{2}+36$