Obliczanie logarytmów

Teacher

Żaneta Szczyglak

Categories

LICEUM / TECHNIKUM, Liczby rzeczywiste, Logarytmy

Bezpłatne

Opis

Zadanie 1

Oblicz logarytmy:

$a)\, {log}_{2}8$

$d)\, {log}_{3}27$

$g)\, {log}_{5}25$

$b)\, {log}_{2}32$

$e)\, {log}_{3}81$

$h)\, {log}_{5}625$

$c)\, {log}_{2}1024$

$f)\, {log}_{4}16$

$i)\, {log}_{6}1296$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${log}_{2}8=x$

${2}^{x}=8$

${2}^{x}={2}^{3}$

$x=3$

WSKAZÓWKI:

${log}_{2}8=x$

1. Oznacz szukaną liczbę za pomocą x.

${log}_{a}b=x,\, \, \, \, gdy\, {a}^{x}=b$

${2}^{x}=8$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu.

Najprościej mówiąc zastanawiamy się do jakiej potęgi należy podnieść a – podstawę logarytmu, żeby otrzymać b – liczbę logarytmowaną.

${2}^{x}={2}^{3}$

3. Obie strony równania zapisz za pomocą potęg o tych samych podstawach (2 po lewej stronie przepisujemy bez zmian, zaś liczbę 8 zamieniamy na potęgę o podstawie 2)

$x=3$

4. Przyrównaj wykładniki obu potęg. Pamiętaj jednak, że dokonujemy porównania wykładników potęg tylko o tych samych podstawach.

W każdym z poniższych przykładów postępujemy analogicznie do wyżej zaprezentowanego schematu obliczeń.

$b)$ ${log}_{2}32=x$

${2}^{x}=32$

${2}^{x}={2}^{5}$

$x=5$

$c)$ ${log}_{2}1024=x$

${2}^{x}=1024$

${2}^{x}={2}^{10}$

$x=10$

$d)$ ${log}_{3}27=x$

${3}^{x}=27$

${3}^{x}={3}^{3}$

$x=3$

$e)$ ${log}_{3}81=x$

${3}^{x}=81$

${3}^{x}={3}^{4}$

$x=4$

$f)$ ${log}_{4}16=x$

${4}^{x}=16$

${4}^{x}={4}^{2}$

$x=2$

$g)$ ${log}_{5}25=x$

${5}^{x}=25$

${5}^{x}={5}^{2}$

$x=2$

$h)$ ${log}_{5}625=x$

${5}^{x}=625$

${5}^{x}={5}^{4}$

$x=4$

$i)$ ${log}_{6}1296=x$

${6}^{x}=1296$

${6}^{x}={6}^{4}$

$x=4$

Zadanie 2

Oblicz logarytmy:

$a)\, {log}_{2}2$

$d)\, log\, 1000$

$b)\, {log}_{7}1$

$e)\, {log}_{125}1$

$c)\, log\, 100$

$f)\, {log}_{25}25$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${log}_{2}2=1$

WSKAZÓWKI:

${log}_{a}a=1$

1. Skorzystaj z następującej zależności:

ROZWIĄZANIE:

$b)$ ${log}_{7}1=0$

WSKAZÓWKI:

${log}_{a}1=0$

1. Skorzystaj z następującej zależności.

ROZWIĄZANIE:

$c)$ $log\, 100=x$

${10}^{x}=100$

${10}^{x}={10}^{2}$

$x=2$

WSKAZÓWKI:

Uwaga: jeśli w zapisie logarytmu nie ma wyraźnie określonej podstawy logarytmu to znaczy, że mamy do czynienia z logarytmem dziesiętnym (przyjmujemy, że podstawa jest równa 10)

$log\, 100=x$

1. Oznacz szukaną liczbę za pomocą x.

${log}_{a}b=x,\, \, \, \, gdy\, {a}^{x}=b$

${10}^{x}=100$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu.

${10}^{x}={10}^{2}$

3. Obie strony równania zapisz za pomocą potęg o tych samych podstawach.

$x=2$

4. Przyrównaj wykładniki obu potęg.

$d)$ $log\, 1000=x$

${10}^{x}=1000$

${10}^{x}={10}^{3}$

$x=3$

$e)$ ${log}_{a}1=0$

${log}_{125}1=0$

$f)$ ${log}_{a}a=1$

${log}_{25}25=1$

Zadanie 3

Oblicz logarytmy:

$a)\, {log}_{27}9$

$b)\, {log}_{81}3$

$c)\, {log}_{4}2$

$d)\, {log}_{4}8$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${log}_{27}9=x$

${27}^{x}=9$

${{(3}^{3})}^{x}={3}^{2}$

${3}^{3x}={3}^{2}$

$3x=2\, \, \, |\div 3$

$x=\frac {2} {3}$

WSKAZÓWKI:

${log}_{27}9=x$

1. Oznacz szukaną liczbę za pomocą x.

${27}^{x}=9$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu.

${{(3}^{3})}^{x}={3}^{2}$

3. Obie strony równania zapisz za pomocą potęg o tych samych podstawach ( w tym przypadku o podstawie 3)

${{(a}^{m})}^{n}={a}^{m\times n}$

${3}^{3x}={3}^{2}$

4. Wykonaj potęgowanie potęgi po lewej stronie równania zgodnie ze wzorem.

$3x=2\, \, \, |\div 3$

$x=\frac {2} {3}$

5. Przyrównaj do siebie wykładniki obu potęg.

Podziel obie strony równania przez liczbę znajdującą się przy x -ie.

W poniższych przykładach postępuj analogicznie do objaśnionego wyżej przykładu.

$b)$ ${log}_{81}3=x$

${81}^{x}=3$

${{(3}^{4})}^{x}={3}^{1}$

${3}^{4x}={3}^{1}$

$4x=1\, \, \, |\div 4$

$x=\frac {1} {4}$

$c)$ ${log}_{4}2=x$

${4}^{x}=2$

${{(2}^{2})}^{x}={2}^{1}$

${2}^{2x}={2}^{1}$

$2x=1\, \, \, |\div 2$

$x=\frac {1} {2}$

$d)$ ${log}_{4}8=x$

${4}^{x}=8$

${{(2}^{2})}^{x}={2}^{3}$

${2}^{2x}={2}^{3}$

$2x=3\, \, \, |\div 2$

$x=\frac {3} {2}$

Zadanie 4

Oblicz logarytmy:

$a)\, {log}_{\frac {1} {2}}\frac {1} {16}$

$b)\, {log}_{\frac {1} {3}}\frac {1} {243}$

$c)\, {log}_{\frac {1} {6}}\, \frac {1} {216}$

$d)\, {log}_{\frac {1} {16}}\frac {1} {32}$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${log}_{\frac {1} {2}}\frac {1} {16}=x$

${(\frac {1} {2})}^{x}=\frac {1} {16}$

${(\frac {1} {2})}^{x}={(\frac {1} {2})}^{4}$

$x=4$

WSKAZÓWKI:

${log}_{\frac {1} {2}}\frac {1} {16}=x$

1. Oznacz szukaną liczbę za pomocą x.

${log}_{a}b=x,\, \, \, \, gdy\, {a}^{x}=b$

${(\frac {1} {2})}^{x}=\frac {1} {16}$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu.

Zastanów się do jakiej potęgi należy podnieść podstawę logarytmu aby otrzymać liczbę logarytmowaną.

${(\frac {1} {2})}^{x}={(\frac {1} {2})}^{4}$

3. Przedstaw obie strony równania za pomocą potęg o tych samych podstawach.

$x=4$

4. Przyrównaj wykładniki obu potęg.

W poniższych przykładach postępuj analogicznie do objaśnionego wyżej przykładu.

$b)$ ${log}_{\frac {1} {3}}\frac {1} {243}=x$

${(\frac {1} {3})}^{x}=\frac {1} {243}$

${(\frac {1} {3})}^{x}={(\frac {1} {3})}^{5}$

$x=5$

$c)$ ${log}_{\frac {1} {6}}\, \frac {1} {216}=x$

${(\frac {1} {6})}^{x}=\frac {1} {216}$

${(\frac {1} {6})}^{x}={(\frac {1} {6})}^{3}$

$x=3$

$d)$ ${log}_{\frac {1} {16}}\frac {1} {32}=x$

${(\frac {1} {16})}^{x}=\frac {1} {32}$

${(({\frac {1} {2})}^{4})}^{x}={(\frac {1} {2})}^{5}$

$4x=5\, \, \, |\div 4$

$x=\frac {5} {4}=1\frac {1} {4}$

Zadanie 5

Oblicz logarytmy:

$a)\, {log}_{2}\, \frac {1} {2}$

$b)\, {log}_{3}\, \frac {1} {9}$

$c)\, {log}_{4}\, \frac {1} {1024}$

$d)\, log\, \frac {1} {100}$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${log}_{2}\, \frac {1} {2}=x$

${2}^{x}=\frac {1} {2}$

${2}^{x}={2}^{-1}$

$x=-1$

WSKAZÓWKI:

${log}_{2}\, \frac {1} {2}=x$

1. Oznacz szukaną liczbę za pomocą x.

${log}_{a}b=x,\, \, \, \, gdy\, {a}^{x}=b$

${2}^{x}=\frac {1} {2}$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu.

${2}^{-1}={(\frac {2} {1})}^{-1}={(\frac {1} {2})}^{1}=\frac {1} {2}$

${2}^{x}={2}^{-1}$

3. Obie strony równania zapisz za pomocą potęg o tych samych podstawach.

Zauważ, że obie liczby można przedstawić za pomocą potęgi o podstawie 2.

$x=-1$

4. Przyrównaj do siebie wykładniki obu potęg.

W poniższych przykładach postępuj analogicznie do objaśnionego wyżej przykładu.

$b)$ ${log}_{3}\, \frac {1} {9}=x$

${3}^{x}=\frac {1} {9}$

${3}^{x}={3}^{-2}$

$x=-2$

$c)$ ${log}_{4}\, \frac {1} {1024}=x$

${4}^{x}=\frac {1} {1024}$

${{(2}^{2})}^{x}={2}^{-10}$

${2}^{2x}={2}^{-10}$

$2x=-10\, \, \, |\div 2$

$x=-5$

$d)$ $log\, \frac {1} {100}=x$

${10}^{x}=\frac {1} {100}$

${10}^{x}={10}^{-2}$

$x=-2$

Zadanie 6

Oblicz logarytmy:

$a)\, {log}_{\frac {1} {2}}\, 8$

${b)\, log}_{\frac {1} {3}}27$

$c)\, {log}_{\frac {1} {4}}32$

$d)\, {log}_{\frac {1} {8}}128$

ROZWIĄZANIE

$a)$ ${log}_{\frac {1} {2}}\, 8=x$

${(\frac {1} {2})}^{x}=8$

${{(2}^{-1})}^{x}={2}^{3}$

${2}^{-x}={2}^{3}$

$-x=3\, \, \, |\times (-1)$

$x=-3$

WSKAZÓWKI:

${log}_{\frac {1} {2}}\, 8=x$

1. Oznacz szukaną liczbę za pomocą x.

${log}_{a}b=x,\, \, \, \, gdy\, {a}^{x}=b$

${(\frac {1} {2})}^{x}=8$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu.

${{(2}^{-1})}^{x}={2}^{3}$

3. Obie strony równania zapisz za pomocą potęg o tych samych podstawach.

${{(a}^{m})}^{n}={a}^{m\times n}$

${2}^{-x}={2}^{3}$

4. Wykonaj potęgowanie potęgi po lewej stronie równania zgodnie ze wzorem.

Pamiętaj, że mnożąc liczbę dodatnią razy ujemną otrzymasz wartość ujemną.

$-x=3\, \, \, |\times (-1)$

$x=-3$

5. Przyrównaj do siebie wykładniki obu potęg. Wymnóż obie strony równania przez liczbę ujemną aby pozbyć się minusa przy znaku x.

$b)$ ${log}_{\frac {1} {3}}\, 27=x$

${(\frac {1} {3})}^{x}=27$

${{(3}^{-1})}^{x}={3}^{3}$

${3}^{-x}={3}^{3}$

$-x=3\, \, \, |\times (-1)$

$x=-3$

$c)$ ${log}_{\frac {1} {4}}\, 32=x$

${(\frac {1} {4})}^{x}=32$

${{(2}^{-2})}^{x}={2}^{5}$

${2}^{-2x}={2}^{5}$

$-2x=5\, \, \, |\div (-2)$

$x=-\frac {5} {2}$

$d)$ ${log}_{\frac {1} {8}}\, 128=x$

${(\frac {1} {8})}^{x}=128$

${{(2}^{-3})}^{x}={2}^{7}$

${2}^{-3x}={2}^{7}$

$-3x=7\, \, \, |\div (-3)$

$x=-\frac {7} {3}$

Zadanie 7

Oblicz logarytmy:

$a)\, {log}_{2}0,25$

$b)\, {log}_{2}0,125$

$c)\, {log}_{5}0,04$

$d)\, {log}_{5}0,008$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${log}_{2}0,25=x$

${2}^{x}=0,25$

${2}^{x}=\frac {1} {4}$

${2}^{x}={2}^{-2}$

$x=-2$

WSKAZÓWKI:

${log}_{2}0,25=x$

1. Oznacz szukaną liczbę za pomocą x.

${2}^{x}=0,25$

${2}^{x}=\frac {1} {4}$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu. Zamień ułamek dziesiętny na ułamek zwykły.

${2}^{x}={(\frac {1} {2})}^{2}$

${2}^{x}={2}^{-2}$

3. Obie strony równania zapisz za pomocą potęg o tych samych podstawach. Jeśli nie potrafisz od razu przedstawić obu stron równania za pomocą potęgi o tej samej podstawie (nic się nie martw;)) możesz wykonać stopniowe przekształcenia.

$x=-2$

4. Przyrównaj do siebie wykładniki obu potęg.

$b)$ ${log}_{2}0,125=x$

${2}^{x}=0,125$

${2}^{x}=\frac {125} {1000}$

${2}^{x}=\frac {1} {8}$

${2}^{x}={2}^{-3}$

$x=-3$

$c)$ ${log}_{5}0,04=x$

${5}^{x}=0,04$

${5}^{x}=\frac {4} {100}$

${5}^{x}=\frac {1} {25}$

${5}^{x}={5}^{-2}$

$x=-2$

$d)$ ${log}_{5}0,008=x$

${5}^{x}=0,008$

${5}^{x}=\frac {8} {1000}$

${5}^{x}=\frac {1} {125}$

${5}^{x}={5}^{-3}$

$x=-3$

Zadanie 8

Oblicz logarytmy:

$a)\, {log}_{0,25}16$

$b)\, {log}_{0,04}5$

$c)\, {log}_{0,2}125$

$d)\, {log}_{0,5}32$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${log}_{0,25}16=x$

${(0,25)}^{x}=16$

${(\frac {1} {4})}^{x}=16$

${{(4}^{-1})}^{x}={4}^{2}$

${4}^{-x}={4}^{2}$

$-x=2\, \, \, |\times (-1)$

$x=-2$

WSKAZÓWKI:

${log}_{0,25}16=x$

1. Oznacz szukaną liczbę za pomocą x.

${(0,25)}^{x}=16$

${(\frac {1} {4})}^{x}=16$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu. Zamień ułamek dziesiętny na ułamek zwykły.

${{(4}^{-1})}^{x}={4}^{2}$

3. Obie strony równania zapisz za pomocą potęg o tych samych podstawach.

${{(a}^{m})}^{n}={a}^{m\times n}$

${4}^{-x}={4}^{2}$

4. Wykonaj potęgowanie potęgi po lewej stronie równania zgodnie ze wzorem.

$-x=2\, \, \, |\times (-1)$

$x=-2$

5. Przyrównaj wykładniki obu potęg. Wymnóż obie strony równania przez liczbę ujemną aby pozbyć się minusa przy x -ie.

$b)$ ${log}_{0,04}5=x$

${(0,04)}^{x}=5$

${(\frac {1} {25})}^{x}=5$

$({{5}^{-2})}^{x}={5}^{1}$

$-2x=1\, \, \, |\div (-2)$

$x=-\frac {1} {2}$

$c)$ ${log}_{0,2}125=x$

${(0,2)}^{x}=125$

${(\frac {1} {5})}^{x}=125$

${{(5}^{-1})}^{x}={5}^{3}$

$-x=3\, \, \, |\times (-1)$

$x=-3$

$d)$ ${log}_{0,5}32=x$

${(0,5)}^{x}=32$

${(\frac {1} {2})}^{x}=32$

${{(2}^{-1})}^{x}={2}^{5}$

$-x=5\, \, \, |\times (-1)$

$x=-5$

Zadanie 9

Oblicz logatytmy:

$a){\, log}_{5}\sqrt {5}$

$b)\, {log}_{\sqrt {2}}\, 4$

$c)\, {log}_{\sqrt {5}}25$

$d)\, {log}_{\sqrt {2}}32$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${\, log}_{5}\sqrt {5}=x$

${5}^{x}=\sqrt {5}$

${5}^{x}={5}^{\frac {1} {2}}$

$x=\frac {1} {2}$

WSKAZÓWKI:

${\, log}_{5}\sqrt {5}=x$

${5}^{x}=\sqrt {5}$

1. Oznacz szukaną liczbę za pomocą x, a następnie skorzystaj z definicji logarytmu.

$\sqrt[{n}] {a}={a}^{\frac {1} {n}}$

${5}^{x}={5}^{\frac {1} {2}}$

2. Przedstaw obie strony równania za pomocą potęg o tych samych podstawach (w tym przypadku obie liczby zapisz jako potęgi o podstawie 5).

Chcąc zamienić pierwiastek na potęgę należy skorzystać z następującego wzoru

$x=\frac {1} {2}$

3. Przyrównaj wykładniki obu potęg.

$b)$ ${log}_{\sqrt {2}}\, 4=x$

${(\sqrt {2})}^{x}=4$

${({2}^{\frac {1} {2}})}^{x}={2}^{2}$

$\frac {1} {2}x=2\, \, \, |\div \frac {1} {2}$

$x=4$

$c)$ ${log}_{\sqrt {5}}25=x$

${(\sqrt {5})}^{x}=25$

${({5}^{\frac {1} {2}})}^{x}={5}^{2}$

$\frac {1} {2}x=2\, \, \, |\div \frac {1} {2}$

$x=4$

$d)$ $\, {log}_{\sqrt {2}}32=x$

${(\sqrt {2})}^{x}=32$

${({2}^{\frac {1} {2}})}^{x}={2}^{5}$

$\frac {1} {2}x=5\, \, \, |\div \frac {1} {2}$

$x=10$

Zadanie 10

Oblicz logatytmy:

$a)\, {log}_{5}\, \sqrt[{3}] {5}$

$b)\, {log}_{\sqrt {2}}\sqrt[{3}] {2}$

$c)\, {log}_{\sqrt {7}}\, \sqrt[{3}] {49}$

$d)\, {log}_{\sqrt {3}}\, \sqrt[{4}] {27}$

ROZWIĄZANIE:

$a)$ ${log}_{5}\, \sqrt[{3}] {5}=x$

${5}^{x}=\sqrt[{3}] {5}$

${5}^{x}={5}^{\frac {1} {3}}$

$x=\frac {1} {3}$

WSKAZÓWKI:

${log}_{5}\, \sqrt[{3}] {5}=x$

1. Oznacz szukaną liczbę za pomocą x.

${5}^{x}=\sqrt[{3}] {5}$

2. Skorzystaj z definicji logarytmu.

$\sqrt[{n}] {{a}^{m}}={a}^{\frac {m} {n}}$

${5}^{x}={5}^{\frac {1} {3}}$

3. Obie strony równania przedstaw jako potęgi o tych samych podstawach. Pamiętaj, że aby zamienić pierwiastek na potęgę należy skorzystać z następującego wzoru:

$x=\frac {1} {3}$

4. Przyrównaj wykładniki obu potęg.

$b)$ ${log}_{\sqrt {2}}\sqrt[{3}] {2}=x$

${(\sqrt {2})}^{x}=\sqrt[{3}] {2}$ ${{(2}^{\frac {1} {2}})}^{x}={2}^{\frac {1} {3}}$

$\frac {1} {2}x=\frac {1} {3}\, \, \, |\div \frac {1} {2}$

$x=\frac {2} {3}$

$c)$ ${log}_{\sqrt {7}}\, \sqrt[{3}] {49}=x$

${(\sqrt {7})}^{x}=\sqrt[{3}] {49}$

${{(7}^{\frac {1} {2}})}^{x}={49}^{\frac {1} {3}}$

${{(7}^{\frac {1} {2}})}^{x}={{(7}^{2})}^{\frac {1} {3}}$

$\frac {1} {2}x=\frac {2} {3}\, \, \, |\div \frac {1} {2}$

$x=\frac {4} {3}$

$d)$ ${log}_{\sqrt {3}}\, \sqrt[{4}] {27}=x$

${(\sqrt {3})}^{x}=\sqrt[{4}] {27}$

${{(3}^{\frac {1} {2}})}^{x}={27}^{\frac {1} {4}}$

${{(3}^{\frac {1} {2}})}^{x}={{(3}^{3})}^{\frac {1} {4}}$

$\frac {1} {2}x=\frac {3} {4}\, \, \, |\div \frac {1} {2}$

$x=\frac {6} {4}=\frac {3} {2}$

Zadanie 11

Oblicz logatytmy:

$a)\, {log}_{3}\, 3\sqrt {3}$

$b){log}_{2\sqrt {2}}16$

$c)\, {log}_{\sqrt {2}}\, 4\sqrt {2}$

$d)\, {log}_{3\sqrt {3}}27$

ROZWIĄZANIE: