Równania kwadratowe
Bezpłatne
Course Features
- Lectures 0
- Quizzes 0
- Duration 50 hours
- Skill level All levels
- Language English
- Students 0
- Assessments Yes
Równaniem kwadratowym nazywamy wyrażenie algebraiczne z jedną niewiadomą w drugiej potędze (równanie drugiego stopnia).
Współczynniki trójmianu kwadratowego a, b, c należą do zbioru liczb rzeczywistych a współczynnik a jest różny od zera. Jeśli każdy współczynnik równania jest różny od zera wtedy nazywamy je równaniem kwadratowym zupełnym. Natomiast gdy współczynnik b lub c jest równy zeru wtedy mamy do czynienia z równaniem niezupełnym. Równanie kwadratowe może mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.
Równania kwadratowe niezupełne to równania w których współczynnik trójmianu kwadratowego b lub c są równe zeru. W zależności od postaci równania istnieją różne metody rozwiązywania równań, takie jak pierwiastkowanie obustronne równania, korzystanie ze wzorów skróconego mnożenia czy wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias. Oczywiście zawsze można zastosować wzór na deltę i w zależności od jej wartości liczyć (bądź nie) pierwiastki trójmianu kwadratowego jednak nie zawsze jest to najłatwiejszy i najszybszy sposób na rozwiązanie równania.
Zadanie 1
Rozwiąż równania:
ROZWIĄZANIE:
SPOSÓB I:
Pierwszy sposób rozwiązywania tego typu równań kwadratowych polega na spierwiastkowaniu obu stron równania.
WSKAZÓWKI:
W tego typu równaniach kwadratowych (gdy “x” podniesiony do kwadratu równy jest jakiejś liczbie) należy zastanowić się co należy wpisać w miejsce “x” aby po podniesieniu do kwadratu otrzymać daną liczbę. Nie należy zapominać o tym, że równanie to ma dwa rozwiązania. Przeanalizuj dany przykład: zauważ, że zarówno liczba 5 podniesiona do kwadratu da liczbę 25 jak i liczba (–5) podniesiona do kwadratu da liczbę 25.
SPOSÓB II:
Drugi sposób obliczania równań kwadratowych tego typu polega na wykorzystaniu znajomości wzorów skróconego mnożenia.
WSKAZÓWKI:
1. Przenieś liczbę 25 na drugą stronę równania (pamiętając o zmianie znaku na przeciwny) a następnie przyrównaj otrzymane wyrażenie do zera.
2. Przedstaw lewą stronę równania w taki sposób aby otrzymać wyrażenie w postaci różnicy kwadratów (skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia – wzór na różnicę kwadratów).
3. Zamień różnicę kwadratów na iloczyn dwóch nawiasów (zapisz równanie w postaci iloczynowej).
4. Przyrównaj oba nawiasy do zera. Pamiętaj, że jeśli jeden z czynników jest równy zeru to wynik jest równy zeru.
5. Oblicz i zapisz rozwiązania równania.
SPOSÓB III:
Trzeci sposób na obliczenie równania to skorzystanie ze wzoru na deltę i obliczenie pierwiastków równania.
ROZWIĄZANIE:
SPOSÓB I:
SPOSÓB II:
ROZWIĄZANIE:
ROZWIĄZANIE:
Brak rozwiązania równania, ponieważ nie istnieje taka liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu da wynik ujemny.
Zadanie 2
Rozwiąż równania:
ROZWIĄZANIE:
SPOSÓB I:
Tego typu równanie można rozwiązać dwoma sposobami. Sposób pierwszy polega na wyciągnięciu przed nawias wspólnego czynnika. Jest to zdecydowanie szybszy i dużo łatwiejszy sposób ( i o ile treść zadania nie narzuca nam konkretnego sposobu obliczeń) warto stosować właśnie tę metodę.
WSKAZÓWKI:
1. Wyciągnij wspólny czynnik przed nawias.
2. Przyrównaj każdy z czynników do zera (zarówno ten przed nawiasem jak i wyrażenie w nawiasie).
3. Oblicz “x” i zapisz wynik.
SPOSÓB II:
Drugi sposób polega na obliczeniu delty. Warto jednak zaznaczyć, że w tym przypadku jest to zdecydowanie bardziej czasochłonna metoda obliczeń.
ROZWIĄZANIE:
Zadanie 3
Rozwiąż równania:
Równanie kwadratowe może być przedstawione w postaci iloczynowej, czyli jak sama nazwa wskazuje, za pomocą iloczynu czynników. Równanie przedstawione w takiej formie obliczamy poprzez przyrównanie do zera obu czynników (obu nawiasów). Wynika to z faktu, że jeśli jeden z tych czynników (nawiasów) jest równy zero to iloczyn również wyniesie zero.
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
1. Przyrównaj do zera wyrażenia z obu nawiasów.
2. Oblicz wartość “x” i zapisz rozwiązanie.
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
W tym przypadku tuż przed nawiasem znajduje się liczba 2. Można oczywiście wykonać dzielenie przez 2 obu stron równania aby “pozbyć się” 2, jednak bez względu na to jaka liczba znajduje się tuż przed nawiasem, iloczyn będzie równy zero gdy co najmniej jeden z nawiasów wyniesie zero. Tak więc w tym przypadku zasada jest ta sama jak w poprzednich przykładach – przyrównujemy nawiasy do zera i sprawdzamy dla jakich “x – ów” zeruje się każdy z nich.
ROZWIĄZANIE:
Zadanie 4
Rozwiąż równania:
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
Powyższe równania to także przykłady równania kwadratowego zapisanego w postaci iloczynowej. Zauważ, że nawias do kwadratu możesz zapisać w postaci iloczynu dwóch nawiasów. W związku z tym aby rozwiązać tego typu równanie należy przyrównać go do zera. Nie ma potrzeby przyrównywać do zera obu z nich, ponieważ są identyczne i rozwiązaniem jest ta sama liczba.
ROZWIĄZANIE:
ROZWIĄZANIE:
Równania kwadratowe zupełne to równania w których współczynniki trójmianu kwadratowego a, b i c są różne od zera.
1. Obliczamy deltę (tzw. wyróżnik trójmianu kwadratowego).2. Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego lub stwierdzamy brak rozwiązań.
Liczba rozwiązań (pierwiastków) równania kwadratowego zależy od wartości delty (wyróżnika równania kwadratowego):
Zadanie 5
Rozwiąż równania:
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
1. Wyznacz współczynniki a, b, i c.
2. Oblicz deltę wyróżnik trójmianu kwadratowego).
3. Określ liczbę rozwiązań równania (delta większa od zera – równanie ma dwa rozwiązania).
4. Oblicz pierwiastek z delty (wartość ta będzie potrzebna aby podstawić ją do kolejnych wzorów).
5. Podstaw do wzorów odpowiednie wartości, oblicz i zapisz rozwiązania równania.
ROZWIĄZANIE:
UWAGA: zanim przystąpisz do rozwiązywania równania za pomocą delty, zapisz równanie w postaci ogólnej (pamiętaj, żeby za znakiem równa się było zero).
ROZWIĄZANIE:
Zadanie 6
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
1. Wyznacz współczynniki a, b i c.
2. Oblicz deltę (wyróżnik trójmianu kwadratowego).
3. Określ liczbę rozwiązań (delta równa zero – jedno rozwiązanie).
4. Podstaw do wzoru odpowiednie liczby i oblicz wartość “x”.
ROZWIĄZANIE:
UWAGA: Pamiętaj aby zapisać równanie w postaci ogólnej.
ROZWIĄZANIE:
Zadanie 7
Rozwiąż równania:
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
1. Zapisz równanie w postaci ogólnej.
2. Wyznacz współczynniki a, b i c.
3. Oblicz deltę.
4. Określ liczbę rozwiązań (która zależy od wielkości delty). Delta jest mniejsza od zera więc równanie nie ma rozwiązań.
ROZWIĄZANIE:
Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązania (delta mniejsza od zera).
ROZWIĄZANIE:
Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązania (delta mniejsza od zera).
Odwiedzając dowolną witrynę internetową, dla polepszenia jakości usług może ona przechowywać lub pobierać informacje w przeglądarce, głównie w formie plików cookie. Tutaj możesz zarządzać tymi ustawieniami.