Rzymski system zapisywania liczb

Teacher

Temat: Zapisywanie liczb naturalnych w systemie rzymskim.

Rzymski system zapisywania liczb

Rzymski system zapisywania liczb to system, w którym do zapisu liczb używa się 7 znaków (liter), gdzie :

$\mathrm{I}-1,\, \, \, \mathrm{V}-5,\, \, \, \mathrm{X}-10,\, \, \, \mathrm{L}-50,\, \, \, \mathrm{C}-100,\, \, \, \mathrm{D}-500,\, \, \, \mathrm{M}-1000$

W systemie rzymskim nie istnieją znaki do zapisu liczb większych niż 1000 co oznacza, że za pomocą dostępnych znaków możemy zapisać jedynie liczby od 1 do 3999. Rzymianie używali również znaków do zapisania liczb 5000 oraz 10 000 ale wyszły one z użycia.

Rzymski sposób zapisu liczb nazywany jest systemem addytywnym co oznacza, że wartość danej liczby określamy jako sumę wartości jej znaków cyfrowych. Wyjątkiem są liczby 4, 9, 40, 90, 400 i 900, które zapisujemy w postaci różnicy dwóch liczb.

Zapisując liczby w systemie rzymskim należy pamiętać o przestrzeganiu kilku istotnych zasad.

Zasady zapisu liczb w systemie rzymskim:

Jeżeli za znakiem rzymskim odpowiadającym danej liczbie występuje znak, który odpowiada liczbie mniejszej lub równej, to stosujemy dodawanie, np.:

$\mathrm{V}\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}=5+1+1+1=8;\, \, \, \mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{X}=100+100+10=210;\, \, \, \mathrm{D}\mathrm{C}=500+100=600$

Jeżeli za znakiem rzymskim odpowiadającym danej liczbie występuje znak, który odpowiada liczbie większej to stosujemy odejmowanie (od większej odejmujemy mniejszą liczbę), np.:

$\mathrm{I}\mathrm{V}=5-1=4;\, \, \, \mathrm{X}\mathrm{L}=50-10=40;\, \, \, \mathrm{C}\mathrm{M}=1000-100=900$

Znakami rzymskimi, które mogą poprzedzać znaki odpowiadające większym liczbom są I, X oraz C. Każdy z tych znaków może wystąpić tylko jeden raz.
Znak I może występować tylko przed V lub przed X, znak X może występować tylko przed L lub przed C, znak C może występować tylko przed D lub przed M.
Obok siebie nie mogą występować dwa jednakowe znaki V, L czy D.
Obok siebie mogą występować maksymalnie trzy jednakowe znaki spośród: I, X, C oraz M.

Zadanie 1

Liczby zapisane w systemie rzymskim zapisz w systemie dziesiątkowym:

$a)\, \mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{L}$

$b)\, \mathrm{C}\mathrm{M}\mathrm{I}\mathrm{X}$

$c)\, \mathrm{M}\mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{I}$

$d)\, \mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{X}\mathrm{I}\mathrm{V}$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{L}=1000+500+100+50=1650$

WSKAZÓWKI:

1. Odczytaj wszystkie znaki występujące w zapisie.

2. Zwróć uwagę na znaki (jeśli znaki występują w kolejności malejącej, tak jak w powyższym przykładzie, to wartości znaków dodajemy.

ROZWIĄZANIE:

$b)$

$\mathrm{C}\mathrm{M}\mathrm{I}\mathrm{X}=\, (1000-100)+(10-1)=900+9=909$

WSKAZÓWKI:

1. Odczytaj wszystkie znaki występujące w zapisie.

2. Zwróć uwagę na znaki (w tym przykładzie znaki o mniejszej wartości występują przed znakami o większej wartości, dlatego od większej odejmujemy mniejszą i zapisujemy wynik tego odejmowania).

3. Sumujemy na koniec wszystkie wartości.

ROZWIĄZANIE:

$c)$

$\mathrm{M}\mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{I}=1000+1000+500+50+10+1=2561$

WSKAZÓWKI:

W tym przykładzie wszystkie znaki występują w kolejności malejącej więc wartości znaków dodajemy.

$d)$

$\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{X}\mathrm{I}\mathrm{V}=1000+(1000-100)+50+10+10+(5-1)=1974$

W tym przykładzie znaki o mniejszej wartości występują przed znakami o większej wartości, dlatego od większej odejmujemy mniejszą a następnie sumujemy wszystkie wartości.

Zadanie 2

Uporządkuj chronologicznie poniższe daty.

$a)\, \mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{M}\mathrm{X}\mathrm{C}\mathrm{I}\mathrm{X}$

$b)\, \mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{V}$

$c)\, \mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{X}\mathrm{L}\mathrm{V}$

$d)\, \mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{X}\mathrm{V}\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{M}\mathrm{X}\mathrm{C}\mathrm{I}\mathrm{X}=1000+(1000-100)+(100-10)+(10-1)=1999$

$b)$

$\mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{V}=1000+500+100+100+50+10+5=1765$

$c)$

$\mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{X}\mathrm{L}\mathrm{V}=1000+500+(50-10)+5=1545$

$d)$

$\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{X}\mathrm{V}\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}=1000+100+50+10+10+5+1+1+1=1178$

Daty uporządkowane chronologicznie:

$1-\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{X}\mathrm{V}\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}$

$2-\mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{X}\mathrm{L}\mathrm{V}$

$3-\mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{V}$

$4-\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{M}\mathrm{X}\mathrm{C}\mathrm{I}\mathrm{X}$

* w porządku chronologicznym – zapisywanie wydarzeń od najstarszego do najmłodszego (czyli od wydarzenia, która miało miejsce najwcześniej do wydarzenia, które miało miejsce najpóźniej).

Zadanie 3

Zapisz w systemie rzymskim następujące liczby:

$a)\, 356$

$b)\, 444$

$c)\, 505$

$d)\, 678$

$e)\, 940$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$356=300+50+6=(100+100+100)+50+(5+1)$

$356=\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{C}+\mathrm{L}+\mathrm{V}\mathrm{I}=\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{L}\mathrm{V}\mathrm{I}$

WSKAZÓWKI:

Aby zapisać liczbę 356 w systemie rzymskim należy przedstawić ją jako sumę liczb 300, 50 i 6. Warto jest więc zapisać dane działanie aby łatwiej było uzmysłowić sobie z jakich znaków rzymskich będzie składać się jej zapis.

Zauważ, że liczbę 300 musimy zapisać jako sumę trzech 100. Wynika to z faktu, że w systemie rzymskim nie ma “gotowej” liczby 300 więc, żeby ją stworzyć musimy dodać do siebie trzy 100.

Liczbę 50 zapisujemy przy użyciu jednego znaku. Nie musimy tu nic dodawać ani odejmować, ponieważ w systemie rzymskim znajduje się litera, która odpowiada liczbie 50 w systemie arabskim.

Liczba 6 to natomiast suma liczb 5 i 1 dlatego w nawiasie znajduje się zapis 5 + 1

$b)$

$444=400+40+4=(500-100)+(50-10)+(5-1)$

$444=\mathrm{C}\mathrm{D}+\mathrm{X}\mathrm{L}+\mathrm{I}\mathrm{V}=\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{X}\mathrm{L}\mathrm{I}\mathrm{V}$

WSKAZÓWKI:

Liczba 444 to suma liczb 400, 40 i 4. Liczbę 400 należy zapisać jako różnicę liczb 500 i 100, ponieważ system rzymski nie zawiera znaku, który oznacza liczbę 400. Podobnie należy postąpić z kolejnymi liczbami czyli 40, którą zapisujemy jako różnicę liczb 50 i 10 oraz 4, która powstaje w wyniku odejmowania liczb 5 i 1.

$c)$

$505=500+5$

$505=\mathrm{D}\mathrm{V}$

WSKAZÓWKI:

Liczba 505 to suma liczb 500 i 5. W powyższym przypadku aby zapisać liczbę 505 musimy użyć jedynie dwóch znaków – znaku oznaczającego liczbę 500 oraz znaku, który oznacza liczbę 5.

$d)$

$678=600+70+80=(500+100)+(50+10+10)+(5+1+1+1)$

$678=\mathrm{D}\mathrm{C}+\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{X}+\mathrm{V}\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}=\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{X}\mathrm{V}\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}$

WSKAZÓWKI:

Liczba 678 to suma liczb 600, 70 i 8. Do zapisania liczby 600 potrzebujemy znaku odpowiadającemu liczbie 500 i 100. Liczbę 70 musimy zapisać jako sumę trzech liczb czyli 50, 10 i 10, zaś liczba 8 to suma cyfr 5, 1, 1 i 1.

$e)$

$940=900+40=(1000-100)+(50-10)$

$940=\mathrm{C}\mathrm{M}+\mathrm{X}\mathrm{L}=\mathrm{C}\mathrm{M}\mathrm{X}\mathrm{L}$

WSKAZÓWKI:

Liczba 940 to suma liczb 900 i 40. Do zapisania 900 wykorzystamy znaki odpowiadające 1000 i 100 i zapiszemy je jako różnicę tych liczb. Natomiast liczba 40 to różnica liczb 50 i 10.

Zadanie 4

Zapisz w systemie rzymskim następujące liczby:

$a)\, 1001$

$b)\, 1083$

$c)\, 1890$

$d)\, 2341$

$e)\, 3888$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$1001=1000+1$

$1001=\mathrm{M}+\mathrm{I}=\mathrm{M}\mathrm{I}$

$b)$

$1083=1000+80+3=1000+(50+10+10+10)+(1+1+1)$

$1083=\mathrm{M}+\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{X}\mathrm{X}+\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}=\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{X}\mathrm{X}\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}$

$c)$

$1890=1000+800+90=1000+(500+100+100+100)+(100-10)$

$1890=\mathrm{M}+\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{C}+\mathrm{X}\mathrm{C}=\mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{X}\mathrm{C}$

$d)$

$2341=2000+300+40+1=(1000+1000)+(100+100+100)+(50-10)+1$

$2341=\mathrm{M}\mathrm{M}+\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{C}+\mathrm{X}\mathrm{L}+\mathrm{I}=\mathrm{M}\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{X}\mathrm{L}\mathrm{I}$

$e)$

$3888=3000+800+80+8=(1000+1000+1000)+(500+100+100+100)+$

$+(50+10+10+10)+(5+1+1+1)$

$3888=\mathrm{M}\mathrm{M}\mathrm{M}+\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{C}+\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{X}\mathrm{X}+\mathrm{V}\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}=\mathrm{M}\mathrm{M}\mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{X}\mathrm{X}\mathrm{V}\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}$

Zadanie 5

Różnica liczb MMDCCCLXIII i MCCCXXI wynosi:

$a)\, \mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{I}\mathrm{I}$

$b)\, \mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{X}\mathrm{X}\mathrm{I}\mathrm{V}$

$c)\, \mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{L}\mathrm{I}\mathrm{I}$

$d)\, \mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{X}\mathrm{L}\mathrm{I}\mathrm{I}$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{I}\mathrm{I}=1000+500+50+10+1+1=1562$

$b)$

$\mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{X}\mathrm{X}\mathrm{I}\mathrm{V}=1000+500+10+10+(5-1)=1524$

$c)$

$\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{L}\mathrm{I}\mathrm{I}=1000+(500-100)+50+1+1=1452$

$d)$

$\mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{X}\mathrm{L}\mathrm{I}\mathrm{I}=1000+500+(50-10)+1+1=1542$

$\mathrm{M}\mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{L}\mathrm{X}\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}=1000+1000+500+100+100+100+50+10+1+1+1=2863$

$\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{X}\mathrm{X}\mathrm{I}=1000+100+100+100+10+10+1=1321$

$2863-1321=1542$

Odpowiedź: Różnica liczb wynosi 1542 czyli MDXLII.

Course Features

Lectures 0
Quizzes 0
Duration 50 hours
Skill level All levels
Language English
Students 0
Assessments Yes

System liczbowy, czytanie i zapisywanie liczb

Rzymski system zapisywania liczb

Temat: Zapisywanie liczb naturalnych w systemie rzymskim.

Rzymski system zapisywania liczb

Zasady zapisu liczb w systemie rzymskim:

Course Features

Zostaw komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi