Usuwanie niewymierności z mianownika

Teacher

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka:

Czym jest niewymierność?

Z pojęciem niewymierności mianownika spotykamy się wówczas gdy w mianowniku ułamka mamy pierwiastek będący liczbą niewymierną. Usuwanie niewymierności z mianownika polega więc na usunięciu pierwiastków z mianownika ułamka.

Możemy spotkać się z różnymi przykładami niewymierności w mianowniku a co za tym idzie – różnymi sposobami rozwiązań.

W mianowniku znajduje się tylko pierwiastek lub pierwiastek pomnożony przez jakąś liczbę – mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek znajdujący się w mianowniku ułamka z którego chcemy usunąć niewymierność.
W mianowniku znajduje się suma lub różnica liczb, z których co najmniej jedna jest pierwiastkiem – licznik i mianownik mnożymy przez tzw. sprzężenie mianownika – mnożymy przez wyrażenie z mianownika ale ze zmienionym znakiem działania (tzn. jeśli w mianowniku mamy sumę to mnożymy przez różnicę a jeśli mamy różnicę to mnożymy przez sumę) po to aby móc skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia.

Przeanalizuj teraz poniższe przykłady a następnie spróbuj rozwiązać samodzielnie co pozwoli Ci utrwalić wiadomości i sposoby rozwiązań.
POWODZENIA!

Zadanie 1

Usuń niewymierność z mianownika ułamka.

$a)\, \frac {3} {\sqrt {2}}$

$b)\, \frac {5} {\sqrt {3}}$

$c)\, \frac {4} {\sqrt {5}}$

$d)\, \frac {2} {\sqrt {7}}$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, \frac {3} {\sqrt {2}}=\frac {3} {\sqrt {2}}\times \frac {\sqrt {2}} {\sqrt {2}}\, =\frac {3\sqrt {2}} {\sqrt {4}}=\frac {3\sqrt {2}} {2}$

WSKAZÓWKI:

$\frac {3} {\sqrt {2}}\times \frac {\sqrt {2}} {\sqrt {2}}\,$

1. Pomnóż ułamek (licznik i mianownik) przez liczbę, która zarówno w liczniku (góra) ułamka jak i w mianowniku (dół) ułamka będzie miała taką samą liczbę jaka znajduje się w mianowniku tego ułamka z którego chcemy pozbyć się niewymierności.

$\frac {3\times \sqrt {2}} {\sqrt {2}\times \sqrt {2}}\, =\frac {3\sqrt {2}} {\sqrt {4}}=\frac {3\sqrt {2}} {2}$

2. Zauważ, że w mianowniku otrzymanego ułamka znajduje się pierwiastek, który można obliczyć otrzymując w ten sposób liczbę wymierną.

$b)\, \frac {5} {\sqrt {3}}=\frac {5} {\sqrt {3}}\times \frac {\sqrt {3}} {\sqrt {3}}=\frac {5\sqrt {3}} {\sqrt {9}}=\frac {5\sqrt {3}} {3}$

$c)\, \frac {4} {\sqrt {5}}=\frac {4} {\sqrt {5}}\times \frac {\sqrt {5}} {\sqrt {5}}=\frac {4\sqrt {5}} {\sqrt {25}}=\frac {4\sqrt {5}} {5}$

$d)\, \frac {2} {\sqrt {7}}=\frac {2} {\sqrt {7}}\times \frac {\sqrt {7}} {\sqrt {7}}=\frac {2\sqrt {7}} {\sqrt {49}}=\frac {2\sqrt {7}} {7}$

Zadanie 2

Usuń niewymierność z mianownika ułamka.

$a)\, \frac {4} {\sqrt {2}}$

$b)\, \frac {6} {\sqrt {3}}$

$c)\, \frac {10} {\sqrt {5}}$

$d)\, \frac {12} {\sqrt {3}}$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, \frac {4} {\sqrt {2}}=\frac {4} {\sqrt {2}}\times \frac {\sqrt {2}} {\sqrt {2}}=\frac {4\sqrt {2}} {\sqrt {4}}=\frac {4\sqrt {2}} {2}=\frac {2\sqrt {2}} {1}=2\sqrt {2}$

WSKAZÓWKI:

$\frac {4} {\sqrt {2}}\times \frac {\sqrt {2}} {\sqrt {2}}$

1. Pomnóż ułamek przez liczbę, która zarówno w liczniku ułamka jak i w mianowniku ułamka będzie miała taką samą liczbę jaka znajduje się w mianowniku tego ułamka z którego chcemy pozbyć się niewymierności.

$\frac {4\times \sqrt {2}} {\sqrt {2}\times \sqrt {2}}=\frac {4\sqrt {2}} {\sqrt {4}}=\frac {4\sqrt {2}} {2}$

2. Oblicz pierwiastek znajdujący się w mianowniku ułamka.

$\frac {4\sqrt {2}} {2}=\frac {2\sqrt {2}} {1}=2\sqrt {2}$

3. Skróć ułamek i zapisz wynik w najprostszej postaci.

$b)\, \frac {6} {\sqrt {3}}=\frac {6} {\sqrt {3}}\times \frac {\sqrt {3}} {\sqrt {3}}=\frac {6\sqrt {3}} {\sqrt {9}}=\frac {6\sqrt {3}} {3}=\frac {2\sqrt {3}} {1}=2\sqrt {3}$

$c)\, \frac {10} {\sqrt {5}}=\frac {10} {\sqrt {5}}\times \frac {\sqrt {5}} {\sqrt {5}}=\frac {10\sqrt {5}} {\sqrt {25}}=\frac {10\sqrt {5}} {5}=\frac {2\sqrt {5}} {1}=2\sqrt {5}$

$d)\, \frac {12} {\sqrt {3}}=\frac {12} {\sqrt {3}}\times \frac {\sqrt {3}} {\sqrt {3}}=\frac {12\sqrt {3}} {\sqrt {9}}=\frac {12\sqrt {3}} {3}=4\sqrt {3}$

Zadanie 3

Usuń niewymierność z mianownika ułamka.

$a)\, \frac {5} {2\sqrt {2}}$

$b)\, \frac {7} {2\sqrt {5}}$

$c)\, \frac {10} {3\sqrt {2}}$

$d)\, \frac {8} {3\sqrt {3}}$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, \frac {5} {2\sqrt {2}}=\frac {5} {2\sqrt {2}}\times \frac {\sqrt {2}} {\sqrt {2}}=\frac {5\sqrt {2}} {2\sqrt {4}}=\frac {5\sqrt {2}} {2\times 2}=\frac {5\sqrt {2}} {4}$

WSKAZÓWKI:

$\frac {5} {2\sqrt {2}}\times \frac {\sqrt {2}} {\sqrt {2}}=\frac {5\sqrt {2}} {2\sqrt {4}}$

$\frac {5\sqrt {2}} {2\sqrt {4}}=\frac {5\sqrt {2}} {2\times 2}=\frac {5\sqrt {2}} {4}$

2. Oblicz pierwiastek znajdujący się w mianowniku ułamka (na dole) a otrzymaną wartość pomnóż przez liczbę stojącą przed znakiem pierwiastka.

$b)\, \frac {7} {2\sqrt {5}}=\frac {7} {2\sqrt {5}}\times \frac {\sqrt {5}} {\sqrt {5}}=\frac {7\sqrt {5}} {2\sqrt {25}}=\frac {7\sqrt {5}} {2\times 5}=\frac {7\sqrt {5}} {10}$

$c)\, \frac {10} {3\sqrt {2}}=\frac {10} {3\sqrt {2}}\times \frac {\sqrt {2}} {\sqrt {2}}=\frac {10\sqrt {2}} {3\sqrt {4}}=\frac {10\sqrt {2}} {3\times 2}=\frac {10\sqrt {2}} {6}=\frac {5\sqrt {2}} {3}$

$d)\, \frac {8} {3\sqrt {3}}=\frac {8} {3\sqrt {3}}\times \frac {\sqrt {3}} {\sqrt {3}}=\frac {8\sqrt {3}} {3\sqrt {9}}=\frac {8\sqrt {3}} {3\times 3}=\frac {8\sqrt {3}} {9}$

Zadanie 4

Usuń niewymierność z mianownika ułamka.

$a)\, \frac {10} {\sqrt {3}+1}$

$b)\, \frac {1} {\sqrt {2}-1}$

$c)\, \frac {4} {\sqrt {5}+1}$

$d)\, \frac {2} {\sqrt {5}-3}$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, \frac {10} {\sqrt {3}+1}\times \frac {\sqrt {3}-1} {\sqrt {3}-1}=\frac {10\times (\sqrt {3}-1)} {(\sqrt {3}+1)\times (\sqrt {3}-1)}=\frac {10\sqrt {3}-10} {\sqrt {9}-\sqrt {3}+\sqrt {3}-1}=\frac {10\sqrt {3}-10} {3-1}=\frac {10\sqrt {3}-10} {2}=\frac {2\times (5\sqrt {3}-5)} {2}=5\sqrt {3}-5$

WSKAZÓWKI:

$\frac {10} {\sqrt {3}+1}\times \frac {\sqrt {3}-1} {\sqrt {3}-1}=\frac {10\times (\sqrt {3}-1)} {(\sqrt {3}+1)\times (\sqrt {3}-1)}=\frac {10\sqrt {3}-10} {\sqrt {9}-\sqrt {3}+\sqrt {3}-1}$

1. Pomnóż ułamek przez liczbę, która zarówno w liczniku jak i mianowniku będzie miała wyrażenie będące sprzężeniem mianownika ułamka z którego chcemy usunąć niewymierność (tzn. w tym przypadku mnożymy ułamek przez wyrażenie które zamiast plusa pomiędzy liczbami zawiera minus).

$\frac {10\sqrt {3}-10} {\sqrt {9}-\sqrt {3}+\sqrt {3}-1}=\frac {10\sqrt {3}-10} {3-1}=\frac {10\sqrt {3}-10} {2}$

2. Oblicz wartość pierwiastków oraz zredukuj wyrazy podobne.

$\frac {10\sqrt {3}-10} {2}=\frac {2\times (5\sqrt {3}-5)} {2}=5\sqrt {3}-5$

3. Uprość ułamek (skróć). Pamiętaj jednak, że najpierw należy wyciągnąć przed nawias wspólny czynnik.

UWAGA: Nie można skracać licznika z mianownikiem jeśli w liczniku bądź w mianownika mamy dodawanie lub odejmowanie – trzeba to przedstawić za pomocą mnożenia właśnie poprzez wyciągnięcie czynnika przed nawias.

$b)\, \frac {1} {\sqrt {2}-1}\times \frac {\sqrt {2}+1} {\sqrt {2}+1}=\frac {1\times (\sqrt {2}+1)} {(\sqrt {2}-1)\times (\sqrt {2}+1)}=\frac {\sqrt {2}+1} {\sqrt {4}-\sqrt {2}+\sqrt {2}-1)}=\frac {\sqrt {2}+1} {2-1}=\frac {\sqrt {2}+1} {1}=\sqrt {2}+1$

$c)\, \frac {4} {\sqrt {5}+1}\times \frac {\sqrt {5}-1} {\sqrt {5}-1}=\frac {4\times (\sqrt {5}-1)} {(\sqrt {5}+1)\times (\sqrt {5}-1)}=\frac {4\sqrt {5}-4} {\sqrt {25}-\sqrt {5}+\sqrt {5}-1}=\frac {4\sqrt {5}-4} {5-1}=\frac {4\sqrt {5}-4} {4}=\frac {4\times (\sqrt {5}-1)} {4}=\sqrt {5}-1$

$d)\, \frac {2} {\sqrt {5}-3}\times \frac {\sqrt {5}+3} {\sqrt {5}+3}=\frac {2\times (\sqrt {5}+3)} {(\sqrt {5}-3)\times (\sqrt {5}+3)}=\frac {2\sqrt {5}+6} {\sqrt {25}+3\sqrt {5}-3\sqrt {5}-9}=\frac {2\sqrt {5}+6} {5-9}=\frac {2\sqrt {5}+6} {-4}=\frac {2\times (\sqrt {5}+3)} {-4}=\frac {\sqrt {5}+3} {-2}=-\frac {\sqrt {5}+3} {2}$

Zadanie 5

Usuń niewymierność z mianownika ułamka.

$a)\, \frac {\sqrt {2}} {\sqrt {2}-2}$

$b)\, \frac {2\sqrt {5}} {2\sqrt {5}+4}$

$c)\, \frac {3\sqrt {3}} {\sqrt {3}-3}$

$d)\, \frac {2\sqrt {6}} {\sqrt {6}+2}$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, \frac {\sqrt {2}} {\sqrt {2}-2}\times \frac {\sqrt {2}+2} {\sqrt {2}+2}=\frac {\sqrt {2}\times (\sqrt {2}+2)} {(\sqrt {2}-2)\times (\sqrt {2}+2)}=\frac {\sqrt {4}+2\sqrt {2}} {\sqrt {4}+2\sqrt {2}-2\sqrt {2}-4}=\frac {2+2\sqrt {2}} {2-4}=\frac {2+2\sqrt {2}} {-2}=\frac {2\times (1+\sqrt {2)}} {-2}=\frac {1+\sqrt {2}} {-1}=-1-\sqrt {2}$

$b)\, \frac {2\sqrt {5}} {2\sqrt {5}+4}\times \frac {2\sqrt {5}-4} {2\sqrt {5}-4}=\frac {2\sqrt {5}\times (2\sqrt {5}-4)} {(2\sqrt {5}+4)\times (2\sqrt {5}-4)}=\frac {4\sqrt {25}-8\sqrt {5}} {4\sqrt {25}-8\sqrt {5}+8\sqrt {5}-16}=\frac {20-8\sqrt {5}} {20-16}=\frac {20-8\sqrt {5}} {4}=\frac {4\times (5-2\sqrt {5)}} {4}=5-2\sqrt {5}$

$c)\, \frac {3\sqrt {3}} {\sqrt {3}-3}\times \frac {\sqrt {3}+3} {\sqrt {3}+3}=\frac {3\sqrt {3}\times (\sqrt {3}+3)} {(\sqrt {3}-3)\times (\sqrt {3}+3)}=\frac {3\sqrt {9}+9\sqrt {3}} {\sqrt {9}+3\sqrt {3}-3\sqrt {3}-9}=\frac {9+9\sqrt {3}} {3-9}=\frac {9+9\sqrt {3}} {-6}=\frac {3\times (3+3\sqrt {3)}} {-6}=\frac {3+3\sqrt {3}} {-2}=-\frac {3+3\sqrt {3}} {2}$

$d)\, \frac {2\sqrt {6}} {\sqrt {6}+2}\times \frac {\sqrt {6}-2} {\sqrt {6}-2}=\frac {2\sqrt {6}\times (\sqrt {6}-2)} {(\sqrt {6}+2)\times (\sqrt {6}-2)}=\frac {2\sqrt {36}-4\sqrt {6}} {\sqrt {36}-2\sqrt {6}+2\sqrt {6}-4}=\frac {12-4\sqrt {6}} {6-4}=\frac {12-4\sqrt {6}} {2}=\frac {2\times (6-2\sqrt {6)}} {2}=6-2\sqrt {6}$

Zadanie 6

Usuń niewymierność z mianownika ułamka.

$a)\, \frac {2+\sqrt {5}} {\sqrt {5}-1}$

$b)\, \frac {3-\sqrt {2}} {\sqrt {2}+2}$

$c)\, \frac {\sqrt {3}+4} {2\sqrt {3}+2}$

$d)\, \frac {3\sqrt {6}-6} {3-6\sqrt {6}}$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, \frac {2+\sqrt {5}} {\sqrt {5}-1}\times \frac {\sqrt {5}+1} {\sqrt {5}+1}=\frac {(2+\sqrt {5})\times (\sqrt {5}+1)} {(\sqrt {5}-1)\times (\sqrt {5}+1)}=\frac {2\sqrt {5}+2+\sqrt {25}+\sqrt {5}} {\sqrt {25}+\sqrt {5}-\sqrt {5}-1}=\frac {2\sqrt {5}+2+5+\sqrt {5}} {5-1}=\frac {3\sqrt {5}+7} {4}$

$b)\, \frac {3-\sqrt {2}} {\sqrt {2}+2}\times \frac {\sqrt {2}-2} {\sqrt {2}-2}=\frac {(3-\sqrt {2})\times (\sqrt {2}-2)} {(\sqrt {2}+2)\times (\sqrt {2}-2)}=\frac {3\sqrt {2}-6-\sqrt {4}+2\sqrt {2}} {\sqrt {4}-2\sqrt {2}+2\sqrt {2}-4}=\frac {3\sqrt {2}-6-2+2\sqrt {2}} {2-4}=\frac {5\sqrt {2}-8} {-2}=-\frac {5\sqrt {2}-8} {2}$

$c)\, \frac {\sqrt {3}+4} {2\sqrt {3}+2}\times \frac {2\sqrt {3}-2} {2\sqrt {3}-2}=\frac {(\sqrt {3}+4)\times (2\sqrt {3}-2)} {(2\sqrt {3}+2)\times (2\sqrt {3}-2)}=\frac {2\sqrt {9}-2\sqrt {3}+8\sqrt {3}-8} {4\sqrt {9}-4\sqrt {3}+4\sqrt {3}-4}=\frac {6-2\sqrt {3}+8\sqrt {3}-8} {12-4}=\frac {6\sqrt {3}-2} {8}=\frac {2\times (3\sqrt {3}-1)} {8}=\frac {3\sqrt {3}-1} {4}$

$d)\, \frac {3\sqrt {6}-6} {3-6\sqrt {6}}\times \frac {3+6\sqrt {6}} {3+6\sqrt {6}}=\frac {(3\sqrt {6}-6)\times (3+6\sqrt {6)}} {(3-6\sqrt {6)\times (3+6\sqrt {6)}}}=\frac {9\sqrt {6}+18\sqrt {36}-18-36\sqrt {6}} {9+18\sqrt {6}-18\sqrt {6}-36\sqrt {36}}=\frac {90-27\sqrt {6}} {9-216}=\frac {90-27\sqrt {6}} {-207}=\frac {9\times (10-3\sqrt {6)}} {-207}=-\frac {10-3\sqrt {6}} {23}$

Zadanie 7

Usuń niewymierność z mianownika ułamka.

$a)\, \frac {\sqrt {2}+3} {3-\sqrt {2}}$

$b)\, \frac {4-2\sqrt {3}} {4+2\sqrt {3}}$

$c)\frac {2\sqrt {6}-\sqrt {2}} {2\sqrt {6}+\sqrt {2}}$

$d)\, \frac {3\sqrt {15}+\sqrt {3}} {\sqrt {3}-3\sqrt {15}}$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, \frac {\sqrt {2}+3} {3-\sqrt {2}}\times \frac {3+\sqrt {2}} {3+\sqrt {2}}=\frac {(\sqrt {2}+3)\times (3+\sqrt {2)}} {(3-\sqrt {2)\times (3+\sqrt {2)}}}=\frac {3\sqrt {2}+\sqrt {4}+9+3\sqrt {2}} {9+3\sqrt {2}-3\sqrt {2}-\sqrt {4}}=\frac {3\sqrt {2}+2+9+3\sqrt {2}} {9-2}=\frac {6\sqrt {2}+11} {7}$

$b)\, \frac {4-2\sqrt {3}} {4+2\sqrt {3}}\times \frac {4-2\sqrt {3}} {4-2\sqrt {3}}=\frac {(4-2\sqrt {3})\times (4-2\sqrt {3})} {(4+2\sqrt {3})\times (4-2\sqrt {3})}=\frac {16-8\sqrt {3}-8\sqrt {3}+4\sqrt {9}} {16-8\sqrt {3}+8\sqrt {3}-4\sqrt {9}}=\frac {16-8\sqrt {3}-8\sqrt {3}+12} {16-12}=\frac {28-16\sqrt {3}} {4}=\frac {4\times (7-4\sqrt {3)}} {4}=7-4\sqrt {3}$

$c)\frac {2\sqrt {6}-\sqrt {2}} {2\sqrt {6}+\sqrt {2}}\times \frac {2\sqrt {6}-\sqrt {2}} {2\sqrt {6}-\sqrt {2}}=\frac {(2\sqrt {6}-\sqrt {2})\times (2\sqrt {6}-\sqrt {2})} {(2\sqrt {6}+\sqrt {2})\times (2\sqrt {6}-\sqrt {2)}}=\frac {4\sqrt {36}-2\sqrt {12}-2\sqrt {12}+\sqrt {4}} {4\sqrt {36}-2\sqrt {12}+2\sqrt {12}-\sqrt {4}}=\frac {24-2\sqrt {12}-2\sqrt {12}+2} {24-2}=\frac {26-4\sqrt {12}} {22}=$

$=\frac {26-4\sqrt {4\times 3}} {22}=\frac {26-4\times 2\sqrt {3}} {22}=\frac {26-8\sqrt {3}} {22}=\frac {2\times (13-4\sqrt {3})} {22}=\frac {13-4\sqrt {3}} {11}$

$d)\, \frac {3\sqrt {15}+\sqrt {3}} {\sqrt {3}-3\sqrt {15}}\times \frac {\sqrt {3}+3\sqrt {15}} {\sqrt {3+3\sqrt {15}}}=\frac {(3\sqrt {15}+\sqrt {3})\times (\sqrt {3}+3\sqrt {15)}} {(\sqrt {3}-3\sqrt {15})\times (\sqrt {3}+3\sqrt {15})}=\frac {3\sqrt {45}+9\sqrt {225}+\sqrt {9}+3\sqrt {45}} {\sqrt {9}+3\sqrt {45}-3\sqrt {45}-9\sqrt {225}}=\frac {3\sqrt {45}+135+3+3\sqrt {45}} {3-135}=\frac {6\sqrt {45}+138} {-132}=$

$=\frac {6\sqrt {9\times 5}+138} {-132}=\frac {6\times 3\sqrt {5}+138} {-132}=\frac {18\sqrt {5}+138} {-132}=\frac {6\times (3\sqrt {5}+23)} {-132}=\frac {3\sqrt {5}+23} {-22}=-\frac {3\sqrt {5}+23} {22}$

Course Features

Lectures 0
Quizzes 0
Duration 50 hours
Skill level All levels
Language English
Students 0
Assessments Yes

4 Komentarzy

Edyta

12 października 2023

Odpowiedz

Superr!! Po 45 latach od ukończenia szkoły wróciłam do matematyki by pomóc swemu dziecku. Jestem zachwycona.Dziękuję

Żaneta Szczyglak

13 października 2023
Odpowiedz

Dziękuję za komentarz 🙂 Cieszę się, że mogłam pomóc.

BOT

23 listopada 2023

doceniam

Żaneta Szczyglak

28 listopada 2023
Odpowiedz

Dziękuję za komentarz.

LICEUM / TECHNIKUM

Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka:

Czym jest niewymierność?

Course Features

4 Komentarzy

Zostaw komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi