Wzór ogólny ciągu
Bezpłatne
Course Features
- Lectures 0
- Quizzes 0
- Duration 50 hours
- Skill level All levels
- Language English
- Students 0
- Assessments Yes
Ciągiem nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór dodatnich liczb naturalnych. Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu. Podobnie jak w przypadku wszystkich funkcji ciąg można określić za pomocą słownego opisu, wzoru lub wykresu. Wzór ogólny ciągu to wyrażenie według którego można obliczyć wartość dowolnego wyrazu tego ciągu. Aby je obliczyć należy podstawić za n we wzorze ogólnym kolejne liczby naturalne.
Zadanie 1
Dany jest ciąg
określony wzorem ogólnym
Wyznacz trzy
początkowe wyrazy tego ciągu.
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
1. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu. W tym celu należy do podanego w zadaniu wzoru ogólnego podstawić w miejsce n liczbę 1 a następnie wykonać obliczenia zgodnie z kolejnością wykonywania działań.
2. Wyznacz drugi wyraz ciągu postępując analogicznie jak przy wyznaczaniu pierwszego wyrazu ( w miejsce n wstaw 2, ponieważ obliczasz drugi wyraz ciągu).
3. Wyznacz trzeci wyraz ciągu. Zauważ, że aby wyznaczyć dany wyraz ciągu w miejsce n należy wstawić liczbę odpowiadającą numerowi wyrazu który chcesz wyznaczyć.
Zadanie 2
Ciąg
określony jest wzorem
Wyznacz
ROZWIĄZANIE:
Zadanie 3
Które z wyrazów ciągu
są równe zeru, jeśli:
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
1. Przyrównaj wzór ogólny ciągu do zera.
2.Wiedząc, że jeśli jeden z czynników iloczynu jest równy zeru to wyrażenie wyniesie zero przyrównaj każdy z nich do zera.
3. Oblicz równania. Przenieś wiadome na prawą strone a następnie “spierwiastkuj” obie strony równania aby “pozbyć się ” kwadratów liczb.
3a. Oblicz równania.
Oba rozwiązania nie są liczbami naturalnymi.
3b. Oblicz równania.
Tylko jedno z tych dwóch rozwiązań jest liczbą naturalną. Liczby ujemne nie są liczbami naturalnymi.
4. Spośród wszystkich rozwiązań wybierz te, które spełniają warunek (n należy do liczb naturalnych dodatnich)
Odpowiedź: Drugi i trzeci wyraz ciągu jest równy zero, ponieważ tylko te wyrazy spełniają określone warunki.
Odpowiedź: Brak rozwiązań, ponieważ delta jest mniejsza od zera. Żaden z wyrazów nie jest równy zero.
Zadanie 4
Które wyrazy ciągu
są dodatnie, jeśli:
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
1. Aby sprawdzić, które wyrazy ciągu są dodatnie czyli większe od zera należy zapisać, że wzór ogólny tego ciągu jest większy od zera.
2. Rozwiąż nierówność przenosząc wiadome na drugą stronę znaku nierówności a następnie dzieląc obie strony przez liczbę znajdującą się tuż przy niewiadomej n.
3. Jak widać na schematycznym rysunku (na osi) szukane wyrazy znajdują się w przedziale od 5/3 do plus nieskończoności. Należy jeszcze określić, które z nich spełniają warunek (wyrazy ciągu muszą być liczbami naturalnymi czyli liczbami całkowitymi dodatnimi). W związku z tym szukane wyrazy to wszystkie liczby całkowite zaczynając od dwójki aż do nieskończoności.
Odpowiedź: Wyrazy dodatnie tego ciągu to wszystkie liczby naturalne od 2 aż do nieskończoności.
WSKAZÓWKI:
1. Zapisz nierówność gdzie wzór ogólny ciągu jest większy od zera.
2. Oblicz deltę. Jeśli delta jest większa od zera to nierówność będzie miała dwa rozwiązania.
3. Delta jest większa od zera. Oblicz pierwiastek z delty.
4. Podstaw do wzorów odpowiednie wartości, oblicz i zapisz rozwiązania.
5. Z obliczeń wynika, że szukane wyrazy znajdują się w przedziale liczb od 2 do 7. Ponadto musi zostać spełniony warunek, że wyrazy ciągu to liczby naturalne co oznacza, że szukamy liczb całkowitych dodatnich w przedziale (2, 7). Te kryteria spełniają wyrazy: trzeci, czwarty, piąty i szósty.
UWAGA: Wyraz drugi i siódmy nie należą do przedziału. Zauważ, że gdy podstawisz do wzoru ogólnego 2 lub 7 w miejsca n to otrzymasz 0 a nie liczbę większą od zera.
Odpowiedź: Wyrazy dodatnie tego ciągu to wyraz trzeci, czwarty, piąty i szósty.
Zadanie 5
Które wyrazy ciągu
są ujemne, jeśli:
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
1. Aby sprawdzić, które wyrazy ciągu są mniejsze od zera należy zapisać, że wzór ogólny tego ciągu jest mniejszy od zera.
2. Rozwiąż nierówność korzystając ze wzoru na deltę (możesz zastosować inne metody obliczeń np. wzór skróconego mnożenia).
3. Delta większa od zera. Istnieją dwa rozwiązania nierówności. Oblicz pierwiastek z delty.
4. Podstaw do wzorów odpowiednie wartości, oblicz i zapisz rozwiązania.
5. Wiedząc do jakiego przedziału należą szukane liczby wskaż te, które spełniają warunek (są naturalne czyli całkowite dodatnie)
Odpowiedź: Pierwszy i drugi wyraz ciągu przyjmuje wartości ujemne, ponieważ tylko te dwa wyrazy są liczbami naturalnymi (całkowitymi dodatnimi) i tylko te dwa należą do przedziału.
WSKAZÓWKI:
1. Zapisz nierówność gdzie wzór ogólny ciągu jest mniejszy od zera.
2. Oblicz deltę. Jeśli delta jest większa od zera to nierówność będzie miała dwa rozwiązania.
3. Delta większa od zera. Oblicz pierwiastek z delty.
4. Podstaw do wzorów odpowiednie wartości, oblicz i zapisz rozwiązania.
5. Wiedząc do jakiego przedziału należą szukane liczby wskaż te, które spełniają warunek (są naturalne czyli całkowite dodatnie)
Odpowiedź: Istnieje dziewięć wyrazów ciągu, które przyjmują wartości mniejsze od zera. Są nimi wyrazy od pierwszego do dziewiątego.
Zadanie 6
Który wyraz ciągu
jest równy
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
1. Przyrównaj wzór ogólny ciągu do 8/5.
2. Wykonaj mnożenie “na krzyż” otrzymując w rezultacie równoważną postać równania.
3. Rozwiąż równanie. Przenieś niewiadome na lewą stronę równania pamiętając o zmianie znaku na przeciwny a następnie podziel obustronnie równanie przez liczbę znajdującą się przy niewiadomej i zapisz rozwiązanie równanie.
4. Sprawdź czy rozwiązanie spełnia określone warunki i zapisz odpowiedź.
Odpowiedź: Czwarty wyraz ciągu jest równy 8/5.
Zadanie 7
Sprawdź czy istnieją takie wyrazy ciągu
które są równe 4.
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
1. Przyrównaj wzór ciągu do liczby 4.
2. Rozwiąż równanie. Zacznij od uporządkowania zapisu. Przenieś liczbę 4 na drugą stronę równania pamiętając o zmianie znaku na przeciwny a następnie zapisz 0 za znakiem równa się.
3. Oblicz deltę. Jeśli delta jest większa od zera to równanie będzie miało dwa rozwiązania.
4. Delta większa od zera. Oblicz pierwiastek z delty.
5. Podstaw do wzorów odpowiednie wartości, oblicz i zapisz rozwiązania równania.
6. Sprawdź które z rozwiązań spełnia warunek (należy do zbioru liczb naturalnych dodatnich).
Odpowiedź: Nie istnieją takie wyrazy ciągu, które są równe 4. Żadne z rozwiązań nie należy do zbioru liczb naturalnych dodatnich (oba są liczbami ujemnymi).
Zadanie 8
Które wyrazy ciągu
są równe 5.
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
1. Przyrównaj wzór ciągu do liczby 5.
2. Rozwiąż równanie. Zacznij od uporządkowania zapisu. Przenieś liczbę 5 na drugą stronę równania pamiętając o zmianie znaku na przeciwny a następnie zapisz 0 za znakiem równa się.
3. Oblicz deltę. Jeśli delta jest większa od zera to równanie będzie miało dwa rozwiązania.
4. Delta większa od zera. Oblicz pierwiastek z delty.
5. Podstaw do wzorów odpowiednie wartości, oblicz i zapisz rozwiązania równania.
6. Sprawdź które z rozwiązań spełnia warunek (należy do zbioru liczb naturalnych dodatnich).
7. Zapisz odpowiedź.
Odpowiedź: Trzeci wyraz ciągu jest równy 5.
Odwiedzając dowolną witrynę internetową, dla polepszenia jakości usług może ona przechowywać lub pobierać informacje w przeglądarce, głównie w formie plików cookie. Tutaj możesz zarządzać tymi ustawieniami.