Permutacje
Temat: Permutacje.
Permutacją n – elementowego zbioru A (gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych) nazywamy każdy n – wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów danego zbioru n – elementowego.
O permutacji mówimy wówczas, gdy porządkujemy elementy danego zbioru (kolejność elementów jest tutaj istotna).
Liczba wszystkich permutacji n – elementowego zbioru wyraża się wzorem:
Zadanie 1
Na ile sposobów można ustawić trzy osoby w szeregu?
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
Mamy 3 osoby, które musimy ustawić w szeregu.
Na pierwszym miejscu możemy ustawić jedną z trzech osób – czyli mamy 3 możliwości wyboru.
Na drugim miejscu możemy ustawić jedną z dwóch osób – ponieważ jedną z trzech osób ustawiliśmy już na miejscu pierwszym, dlatego mamy dwie możliwości wyboru.
Na ostatnim miejscu stoi trzecia osoba, czyli pozostał nam już tylko jeden wybór.
Odpowiedź: Trzy osoby można ustawić na 6 różnych sposobów.
Zadanie 2
Na ile sposobów można ustawić na półce cztery różne książki?
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
Musimy ustawić na półce cztery książki.
Na pierwszym miejscu możemy ustawić jedną z czterech książek, zatem mamy cztery warianty wyboru.
Jeśli na pierwszym miejscu ustawiliśmy jedną z książek to na drugim miejscu możemy ustawić już tylko jedną z trzech – zatem mamy trzy warianty wyboru.
Po ustawieniu na drugim miejscu drugiej książki, na trzecim miejscu mamy do wyboru dwie książek a więc pozostały nam dwa warianty wyboru.
Po ustawieniu na trzecim miejscu trzeciej książki, na ostatnim miejscu możemy ustawić ostatnią – czwartą książkę – zatem pozostaje nam już tylko jeden wariant.
Odpowiedź: Cztery książki możemy ustawić na 24 różne sposoby.
Zadanie 3
W biegu finałowym uczestniczy ośmiu sprinterów. Na ile sposobów mogą oni zająć kolejne miejsca, jeśli założymy, że wszyscy ukończą bieg?
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
Pierwszy na mecie może być jeden z ośmiu zawodników, czyli jest 8 możliwości.
Drugi na mecie może być jeden z siedmiu zawodników (ponieważ jeden z nich już dotarł do mety), zatem mamy siedem możliwości.
Trzeci na mecie może być jeden z sześciu zawodników (bo dwóch już zajęło pierwsze i drugie miejsce), zatem pozostało sześć możliwości.
Czwarty na mecie może być jeden z pięciu pozostałych zawodników – mamy pięć możliwości wyboru.
Piąty na mecie będzie jeden z czterech zawodników – cztery możliwości wyboru.
Szósty na mecie może być jeden z trzech zawodników – trzy możliwości wyboru.
Siódmy na mecie może być jeden z dwóch zawodników – dwie możliwości wyboru.
Ósmy na mecie może być już tylko jeden, ostatni zawodnik, czyli pozostaje jedna możliwość wyboru.
Odpowiedź: Ośmiu sprinterów może zająć kolejne miejsca na 40 320 sposobów.
Zadanie 4
W zespole tanecznym jest 7 dziewcząt i 7 chłopców. Każda dziewczynka ma tańczyć z chłopcem. Ile jest różnych możliwości utworzenia siedmiu par tanecznych.
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
Pierwsza dziewczynka wybiera partnera spośród siedmiu chłopców – zatem ma siedem możliwości wyboru.
Druga dziewczynka może wybrać jednego z sześciu partnerów – ponieważ jeden jest już “zajęty” – pozostaje jej zatem sześć możliwych wariantów wyboru.
Trzecia dziewczynka ma do wyboru pięciu tancerzy (dwóch jest już zajętych) – czyli ma pięć możliwości wyboru.
Czwarta dziewczynka wybiera tancerza spośród czterech chłopców – cztery możliwości wyboru.
Piata dziewczynka ma do wyboru trzech chłopców – trzy możliwości wyboru.
Szósta dziewczynka może wybrać tancerza spośród dwóch chłopców – dwie możliwości wyboru.
Siódma dziewczynka ma tylko jeden wybór, ponieważ został jeden niewybrany chłopiec.
Odpowiedź: Siedem par tanecznych można utworzyć na 5040 sposobów.
Zadanie 5
Na ile sposobów może ustawić się w szeregu grupa 5 chłopców i 5 dziewczynek tak aby 2 osoby tej samej płci nie stały obok siebie.
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
Jeśli dwie osoby tej samej płci nie mogą stać obok siebie to znaczy, że dzieci muszą stać “na zmianę” tzn. chłopiec, dziewczynka, chłopiec … itp. lub dziewczynka, chłopiec, dziewczynka… itp
Sytuacja pierwsza – chłopcy zajmują kolejno miejsca: 1, 3, 5, 7, 9 czyli ustawienie dzieci zaczynamy od chłopca na pierwszym miejscu.
Pierwszy chłopiec ma zatem do wyboru jedno z pięciu dostępnych miejsc (może wybrać miejsce 1, 3, 5, 7 lub 9) – ma zatem pięć możliwości wyboru.
Drugi chłopiec ma już tylko cztery miejsca do wyboru, ponieważ jedno z miejsc zajął pierwszy chłopiec – ma cztery możliwości wyboru.
Trzeci chłopiec ma do wyboru trzy miejsca.
Czwarty chłopiec ma do wyboru dwa miejsca
Piąty chłopiec ma do wyboru jedno – ostatnie miejsce, zatem ma jedną możliwość wyboru.
W takim wypadku dziewczynki mają do wyboru miejsca 2, 4, 6, 8, 10.
Analogicznie pierwsza dziewczynka ma pięć możliwości wyboru miejsca.
Druga dziewczynka ma już tylko cztery możliwości wyboru.
Trzecia ma trzy możliwości wyboru.
Czwarta ma dwa miejsca do wyboru.
Ostatnia – piąta dziewczynka ma już tylko jedno miejsce, czyli jeden wybór.
W takiej konfiguracji dzieci mogą ustawić się na 5!×5! czyli 14 400 sposobów.
Nie jest to jednak koniec zadania, ponieważ sytuacja może być odwrotna – czyli dziewczynki zajmują teraz miejsca: 1, 3, 5, 7 i 9 a chłopcy miejsca: 2, 4, 6, 8 i 10.
Podobnie jak w pierwszym wariancie pierwsza dziewczynka będzie miała do wyboru pięć miejsc, druga – cztery miejsca, trzecia – trzy, czwarta – dwa a piąta – jedno. Tak samo w przypadku chłopców – pierwszy chłopiec może wybrać jedno z pięciu miejsc, drugi jedno z czterech, trzeci jedno z trzech, czwarty jedno z dwóch i piąty ostatnie wolne miejsce – czyli pozostanie mu jeden wybór.
W tym wariancie dzieci także mogą ustawić się na 5!×5! czyli 14 400 sposobów.
Łączna liczba możliwości ustawień to 14 400+14 400 co możemy zapisać jako 2!×5!×5!
Odpowiedź: Pięciu chłopców i pięć dziewczynek można ustawić na 28 800 sposobów.
Zadanie 6
Na ile sposobów może ustawić się w szeregu grupa 4 chłopców i 3 dziewcząt tak aby osoby tej samej płci nie stały obok siebie?
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
W tym przypadku aby dzieci tej samej płci nie stały obok siebie, chłopcy muszą stać na miejscach 1, 3, 5 i 7 a dziewczynki na miejscach: 2, 4 i 6 (nie ma innej możliwości).
Zatem pierwszy chłopiec ma do wyboru jedno z czterech miejsc.
Drugi chłopiec może wybrać jedno z trzech miejsc.
Trzeci chłopiec ma do wyboru dwa miejsca a czwarty tylko jedno miejsce – zatem jeden wybór.
Dziewczynka pierwsza ma natomiast jedno z trzech miejsc do wyboru – ma trzy możliwości.
Drugiej dziewczynce zostają dwa miejsca do wyboru a trzeciej dziewczynce pozostaje jedno miejsce – czyli jeden wybór.
Odpowiedź: Czterech chłopców i trzy dziewczynki można ustawić na 144 sposoby.
Zadanie 7
Na ile sposobów można zakwaterować 4 osoby:
a) w czterech jednoosobowych pokojach.
b) w pięciu jednoosobowych pokojach.
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
Pierwsza z czterech osób ma możliwość zakwaterowania w jednym z czterech pokoi – zatem ma cztery możliwości wyboru.
Druga osoba ma trzy pokoje do wyboru – bo jeden pokój jest już zajęty przez pierwszą osobę.
Trzecia osoba ma do wyboru jeden z dwóch pokoi.
Czwarta osoba ma do wyboru jeden pokój.
Odpowiedź: Cztery osoby w czterech pokojach można zakwaterować na 24 sposoby.
WSKAZÓWKI:
Cztery osoby mają do wyboru pięć pokoi.
Pierwsza osoba może więc wybrać jeden z pięciu pokoi.
Druga osoba może wybrać jeden z czterech pokoi.
Trzecia osoba może wybrać jeden z trzech pokoi.
Czwarta osoba może wybrać jeden z dwóch pokoi.
Odpowiedź: Cztery osoby w pięciu pokojach można zakwaterować na 120 sposobów.
Zadanie 8
Do windy zatrzymującej się na 9 piętrach wsiadło 5 osób. Na ile sposobów osoby te mogą opuścić windę, jeśli każda z nich wysiada na innym piętrze?
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
Pierwsza osoba może wysiąść na jednym z dziewięciu pięter – ma więc dziewięć możliwości wyboru.
Druga osoba ma do wyboru osiem pięter – bo jedno z pięter jest już zajęte przez pierwszą osobę.
Trzecia osoba ma do wyboru jedno z siedmiu pięter (dwa zajęte) więc ma siedem możliwości wyboru.
Czwarta osoba ma do wyboru jedno z sześciu pięter.
Piąta osoba ma jedno z pięciu pięter do wyboru.
Odpowiedź: Osoby mogą opuścić windę na 15 200 sposobów.
Zadanie 9
Autobusem zatrzymującym się na 9 przystankach jedzie 7 pasażerów. Na ile sposobów mogą oni wysiąść z autobusu, jeśli każdy z nich wysiada na innym przystanku?
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
Pierwszy pasażer może wysiąść na jednym z dziewięciu przystanków, ma więc dziewięć możliwości wyboru.
Drugi pasażer może wysiąść ma jednym z ośmiu przystanków, ponieważ pierwszy pasażer wybrał już jeden przystanek – ma więc osiem możliwości wyboru.
Trzeci pasażer może wysiąść na jednym z siedmiu przystanków.
Czwarty analogicznie może wysiąść na jednym z sześciu przystanków.
Piąty może wysiąść na jednym z pięciu przystanków.
Szósty ma już do wyboru tylko cztery przystanki.
Siódmy pasażer może wybrać jeden z trzech przystanków, które pozostały.
Odpowiedź: Pasażerowie mogą wysiąść z autobusów na 181 440 sposobów.
Zadanie 10
Na ile sposobów można ustawić na półce 7 książek formatu A5 oraz 6 książek formatu A4, aby nie rozdzielać ich formatowo?
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
Wiadomo, że książki w tym samym formacie muszą stać obok siebie a więc musimy rozpatrzyć dwa sposoby ustawienia książek:
Sposób pierwszy: książki w formacie A5 (7 sztuk) stoją na miejscach 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 a książki w formacie A4 (6 sztuk) stoją na miejscach 8, 9, 10, 11, 12, i 13.
Na pierwszym miejscu możemy ustawić jedną z siedmiu książek w formacie A5.
Na drugim miejscu możemy ustawić jedną z sześciu książek w formacie A5.
Na trzecim miejscu możemy ustawić jedną z pięciu książek w formacie A5.
Na czwartym miejscu możemy ustawić jedną z czterech książek w formacie A5.
Na piątym miejscu możemy ustawić jedną z trzech książek w formacie A5.
Na szóstym miejscu możemy ustawić jedną z dwóch książek w formacie A5.
Na siódmym miejscu możemy ustawić ostatnią książkę w formacie A5, czyli do wyboru mamy tylko jedną książkę.
Teraz ustawiamy książki w formacie A4
Na pierwszym miejscu ustawiamy jedną z sześciu książek w formacie A4 – mamy sześć książek do wyboru.
Na drugim miejscu możemy ustawić jedną z pięciu książek w formacie A4.
Na trzecim miejscu możemy ustawić jedną z czterech książek w formacie A4.
Na czwartym miejscu możemy ustawić jedną z trzech książek w formacie A4.
Na piątym miejscu możemy ustawić jedną z dwóch książek w formacie A4.
Na szóstym miejscu możemy ustawić ostatnią – jedyną książkę która pozostała.
Książki możemy ustawić zatem na 7!×6! sposobów.
Drugi sposób ustawienia książek to ustawienie książek w formacie A4 na miejscach: 1, 2, 3, 4, 5 i 6, zaś książek w formacie A5 na miejscach: 7, 8, 9, 10, 11, 12 i 13.
W tym przypadku książki w formacie A4 możemy ustawić na 6! sposobów bo na pierwszym miejscu możemy ustawić jedną z sześciu książek, na drugim jedną z pięciu, na trzecim jedną z czterech… itp. a książki w formacie A5 możemy ustawić na 7! sposobów bo na pierwszym miejscu możemy ustawić jedną z siedmiu książek, na drugim jedną z sześciu, na trzecim jedną z pięciu… itp.
W tym ustawieniu również możemy ustawić książki na 7!×6! sposobów.
Odpowiedź: Książki można ustawić na 7 257 600 sposobów.
Course Features
- Lectures 0
- Quizzes 0
- Duration 50 hours
- Skill level All levels
- Language English
- Students 0
- Assessments Yes
1 Komentarz
Bardzo dobrze wyjaśnione