Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej

Teacher

Temat: Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej

Wartością bezwzględną (modułem) liczby x nazywamy odległość na osi liczbowej liczby x od liczby 0. Wartość bezwzględną liczby x oznaczamy |x|. Wartość bezwzględna z dowolnej liczby jest dodatnia lub równa zero.

Jak mamy rozumieć powyższy zapis? Otóż zapamiętaj, że jeśli x czyli liczba znajdująca się pod wartością bezwzględną jest dodatnia lub równa zero, to opuszczając wartość bezwzględną (moduł) przepisujemy liczbę bez zmian. Jeśli natomiast x jest liczbą ujemną to opuszczając wartość bezwzględną zmieniamy znak na przeciwny.

Jeśli chciałbyś przypomnieć/powtórzyć podstawowe informacje dotyczące wartości bezwzględnej to zapraszam Cię serdecznie do tego działu.

Własności wartości bezwzględnej:

~~$\left | {x} \right |\geq 0$~~

$\left | {x} \right |=\left | {-x} \right |$

$\sqrt {{x}^{2}}=\left | {x} \right |$

$\left | {x-y} \right |=\left | {y-x} \right |$

$\left | {x\times y} \right |=\left | {x} \right |\times \left | {y} \right |$

$\left | {\frac {x} {y}} \right |=\frac {\left | {x} \right |} {\left | {y} \right |},\, y\neq 0$

Zadanie 1

Oblicz:

$a)\, \left | {-2\frac {1} {2}} \right |+\left | {1\frac {1} {2}} \right |$

$b)\, \left | {-2\frac {1} {3}+1\frac {1} {3}} \right |$

$c)\, \left | {-2,6} \right |-\left | {-3,3} \right |$

$d)\, \left | {-0,5-0,3} \right |$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\left | {-2\frac {1} {2}} \right |+\left | {1\frac {1} {2}} \right |=2\frac {1} {2}+1\frac {1} {2}=4$

$b)$

$\left | {-2\frac {1} {3}+1\frac {1} {3}} \right |=\left | {-1} \right |=1$

$c)$

$\left | {-2,6} \right |-\left | {-3,3} \right |=2,6-3,3=-0,7$

$d)$

$\left | {-0,5-0,3} \right |=\left | {-0,8} \right |=0,8$

Zadanie 2

Oblicz:

$a)\, \left | {1-\sqrt {3}} \right |$

$b)\, \left | {\sqrt {3}-\sqrt {2}} \right |$

$c)\, \left | {\sqrt {2}-3} \right |$

$d)\, \left | {-2\sqrt {3}+\sqrt {12}} \right |$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\left | {1-\sqrt {3}} \right |=-(1-\sqrt {3})=-1+\sqrt {3}$

WSKAZÓWKI:

Aby poprawnie opuścić wartość bezwzględną w tego typu wyrażeniach należy najpierw określić czy jest ono dodatnie czy ujemne (czasami mówi się, że ustalamy znak wyrażenia). Zaczynamy od określenia przybliżonej wartości pierwiastka z trzech. Pierwiastek z liczby 3 to około 1,73 w związku z tym jeśli od 1 odejmiemy wartość 1,73 otrzymamy wynik ujemny (będzie to w przybliżeniu liczba – 0,73). Jeśli zatem pod wartością bezwzględną mamy wyrażenie ujemne musimy zmienić znaki na przeciwne. Najlepszym rozwiązaniem jest zapisanie całego wyrażenia w nawiasie i postawienie minusa przed nawiasem a następnie zmiana znaków przed każdą z liczb na przeciwny.

$b)$

$\left | {\sqrt {3}-\sqrt {2}} \right |=\sqrt {3}-\sqrt {2}$

WSKAZÓWKI:

Podobnie jak w poprzednim przypadku zaczynamy od określenia czy wartość wyrażenia zapisanego w wartości bezwzględnej jest dodatnia czy ujemna. Oczywiste jest to, że pierwiastek z liczby 3 jest większy niż pierwiastek z liczby 2. Zatem jeśli od większej liczby odejmiemy mniejszą otrzymamy wynik dodatni. Dlatego opuszczając znak wartości bezwzględnej w tym przypadku przepisujemy wyrażenie bez zmian.

$c)$

$\left | {\sqrt {2}-3} \right |=-(\sqrt {2}-3)=-\sqrt {2}+3$

WSKAZÓWKI:

Określamy czy wyrażenie jest dodatnie czy ujemne. Pierwiastek z liczby 2 to w przybliżeniu 1,41 zatem jeśli od pierwiastka z 2 odejmiemy liczbę 3 to wynik będzie ujemny. Dlatego opuszczając znak wartości bezwzględnej zmienimy znak na przeciwny.

$d)$

$\left | {-2\sqrt {3}+\sqrt {12}} \right |=\left | {-2\sqrt {3}+2\sqrt {3}} \right |=\left | {0} \right |=0$

WSKAZÓWKI:

W tym przykładzie po wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka okazało się, że suma tych dwóch liczb wyniesie zero natomiast wartość bezwzględna z liczby 0 to 0.

UWAGA!

Pamiętaj, że w tego typu przykładach określamy jedynie czy wartość wyrażenia jest dodatnia czy ujemna. Nie interesuje nas dokładny wynik a jedynie wartość przybliżona.

Zadanie 3

Oblicz:

$a)\, \left | {3-\sqrt {3}} \right |+\sqrt {3}$

$b)\, \sqrt {5}-\left | {\sqrt {5}-1} \right |$

$c)\, \left | {1-\sqrt {7}} \right |-\sqrt {7}$

$d)\, \sqrt {2}-\left | {-\sqrt {2}} \right |$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\left | {3-\sqrt {3}} \right |+\sqrt {3}=3-\sqrt {3}+\sqrt {3}=3$

$b)$

$\sqrt {5}-\left | {\sqrt {5}-1} \right |=\sqrt {5}-(\sqrt {5}-1)=\sqrt {5}-\sqrt {5}+1=1$

$c)$

$\left | {1-\sqrt {7}} \right |-\sqrt {7}=-(1-\sqrt {7})-\sqrt {7}=-1+\sqrt {7}-\sqrt {7}=-1$

$d)$

$\sqrt {2}-\left | {-\sqrt {2}} \right |=\sqrt {2}-\sqrt {2}=0$

Zadanie 4

Uprość wyrażenie:

$a)\, \sqrt {{(1-\sqrt {2})}^{2}}$

$b)\, \sqrt {{(1+\sqrt {3})}^{2}}$

$c)\, \sqrt {{(\sqrt {5}-3)}^{2}}$

$d)\, \sqrt {{(3-2\sqrt {5})}^{2}}$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\sqrt {{(1-\sqrt {2})}^{2}}=\left | {1-\sqrt {2}} \right |=-(1-\sqrt {2})=-1+\sqrt {2}$

$b)$

$\sqrt {{(1+\sqrt {3})}^{2}}=\left | {1+\sqrt {3}} \right |=1+\sqrt {3}$

$c)$

$\sqrt {{(\sqrt {5}-3)}^{2}}=\left | {\sqrt {5}-3} \right |=-(\sqrt {5}-3)=-\sqrt {5}+3$

$d)$

$\sqrt {{(3-2\sqrt {5})}^{2}}=\left | {3-2\sqrt {5}} \right |=-(3-2\sqrt {5})=-3+2\sqrt {5}$

WSKAZÓWKI:

$\sqrt {{x}^{2}}=\left | {x} \right |$

$\sqrt {{(1-\sqrt {2})}^{2}}=\left | {1-\sqrt {2}} \right |$

1. Korzystamy ze wzoru:

$\sqrt {2}\approx 1,41$

$1-\sqrt {2}\approx -0,41$

2. Określamy wartość wyrażenia (czy wyrażenie jest dodatnie czy ujemne); szacujemy wartość pierwiastka z 2 a następnie wykonujemy obliczenia. Jak widać wartość wyrażenia jest ujemna dlatego też opuszczając wartość bezwzględną zmieniamy znak.

$\left | {1-\sqrt {2}} \right |=-(1-\sqrt {2})=-1+\sqrt {2}$

3. Aby niczego nie pominąć dobrze jest po opuszczeniu wartości bezwzględnej zapisać całe wyrażenie w nawiasie i zapisać przed nim minus. Następnie zmieniamy znaki na przeciwne przed każdą z liczb i otrzymujemy wynik.

Course Features

Lectures 0
Quizzes 0
Duration 50 hours
Skill level All levels
Language English
Students 0
Assessments Yes

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Równania z wartością bezwzględną

Students

Free

Zobacz

Żaneta Szczyglak