Logarytm potęgi

Teacher

Żaneta Szczyglak

Categories

LICEUM / TECHNIKUM, Liczby rzeczywiste, Logarytmy

Bezpłatne

Opis

Zadanie 1

Oblicz:

$a)\, {2}^{{log}_{2}5}$

$b)\, {7}^{{log}_{7}8}$

$c)\, {13}^{{log}_{13}21}$

$d)\, {81}^{{log}_{81}123}$

Jeśli chcesz obliczyć potęgę w której wykładniku znajduje się logarytm o takiej samej podstawie jak podstawa tej potęgi, to możesz skorzystać z następującego wzoru:

${a}^{{log}_{a}b}=b$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, {2}^{{log}_{2}5}=5$

$b)\, {7}^{{log}_{7}8}=8$

$c)\, {13}^{{log}_{13}21}=21$

$d)\, {81}^{{log}_{81}123}=123$

WSKAZÓWKI:

${a}^{{log}_{a}b}=b$

1. Skorzystaj ze wzoru:

Zauważ, że w każdym z przykładów podstawa logarytmu znajdującego się w wykładniku potęgi jak i podstawa tej potęgi są takie same.

Zadanie 2

Oblicz:

$a)\, {5}^{{2log}_{5}4}$

$b)\, {3}^{{3log}_{3}2}$

$c)\, {11}^{{-2log}_{11}7}$

$d)\, {25}^{{-log}_{25}\frac {1} {5}}$

ROZWIĄZANIE:

${5}^{{2log}_{5}4}={5}^{{log}_{5}{4}^{2}}={5}^{{log}_{5}16}=16$

WSKAZÓWKI:

$n\times {log}_{a}b={{log}_{a}b}^{n}$

${5}^{{2log}_{5}4}={5}^{{log}_{5}{4}^{2}}$

1. By móc skorzystać ze wzoru: ${a}^{{log}_{a}b}=b$ należy najpierw przekształcić logarytm znajdujący się w wykładniku potęgi poprzez zamianę liczby znajdującej się tuż przed logarytmem na wykładnik liczby logarytmowanej.

${5}^{{log}_{5}{4}^{2}}={5}^{{log}_{5}16}$

2. Wykonaj potęgowanie liczby znajdującej się w wykładniku.

${5}^{{log}_{5}16}=16$

3. Skorzystaj ze wzoru oblicz i zapisz wynik.

$b)$ ${3}^{{3log}_{3}2}={3}^{{log}_{3}{2}^{3}}={3}^{{log}_{3}8}=8$

$c)$ ${11}^{{-2log}_{11}7}={11}^{{log}_{11}{7}^{-2}}={11}^{{log}_{11}{(\frac {1} {7})}^{2}}={11}^{{log}_{11}\frac {1} {49}}=\frac {1} {49}$

$d)$ ${25}^{{-log}_{25}\frac {1} {5}}={25}^{{log}_{25}{(\frac {1} {5})}^{-1}}={25}^{{log}_{25}{5}^{1}}={25}^{{log}_{25}5}=5$

UWAGA: Pamiętaj, że tam gdzie mamy do czynienia z ujemnym wykładnikiem musimy odwrócić liczbę potęgowaną c stosując następujący wzór ${a}^{-n}={(\frac {1} {a})}^{n}$ natomiast z ułamkami postępujemy zgodnie ze wzorem: ${(\frac {a} {b})}^{-n}={(\frac {b} {a})}^{n}$

Zadanie 3

Oblicz:

$a)\, {9}^{{log}_{3}2}$

$b)\, {25}^{{log}_{5}3}$

$c)\, {8}^{{log}_{2}5}$

$d)\, {16}^{{log}_{4}2}$

ROZWIĄZANIE:

${9}^{{log}_{3}2}={{(3}^{2})}^{{log}_{3}2}={3}^{2{log}_{3}2}={3}^{{log}_{3}{2}^{2}}={3}^{{log}_{3}4}=4$

WSKAZÓWKI:

${9}^{{log}_{3}2}={{(3}^{2})}^{{log}_{3}2}$

1. Przekształć podstawę potęgi i zapisz ją w taki sposób aby była identyczna jak liczba przy podstawie logarytmu znajdującego się w wykładniku tej potęgi.

${({a}^{m})}^{n}={a}^{m\times n}$

${{(3}^{2})}^{{log}_{3}2}={3}^{{2log}_{3}2}$

2. Wymnóż wykładniki korzystając ze wzoru na potęgowanie potęgi.

$n\times {log}_{a}b\, ={log}_{a}{(b)}^{n}$

${3}^{{2log}_{3}2}={3}^{{log}_{3}{2}^{2}}$

3. Przenieś liczbę znajdującą się tuż przed logarytmem i zapisz ją w wykładniku liczby logarytmowanej korzystając z następującego wzoru.

${3}^{{log}_{3}{2}^{2}}={3}^{{log}_{3}4}=4$

4. Wykonaj potęgowanie liczby logarytmowanej (znajdującej się w wykładniku potęgi) i korzystając z odpowiedniego wzoru oblicz i zapisz rozwiązanie.

$b)$ ${25}^{{log}_{5}3}={{(5}^{2})}^{{log}_{5}3}={5}^{{2log}_{5}3}={5}^{{log}_{5}{3}^{2}}={5}^{{log}_{5}9}=9$

$c)$ ${8}^{{log}_{2}5}={{(2}^{3})}^{{log}_{2}5}={2}^{{3log}_{2}5}={2}^{{log}_{2}{5}^{3}}={2}^{{log}_{2}125}=125$

$d)$ ${16}^{{log}_{4}2}={{(4}^{2})}^{{log}_{4}2}={4}^{{2log}_{4}2}={4}^{{log}_{4}{2}^{2}}={4}^{{log}_{4}4}=4$

Zadanie 4

Oblicz:

$a)\, {2}^{1+{log}_{2}3}$

$b)\, {3}^{2+{log}_{3}7}$

$c)\, {4}^{{log}_{4}6+1}$

$d)\, {5}^{{log}_{5}7+2}$

ROZWIĄZANIE:

${2}^{1+{log}_{2}3}={2}^{1}\times {2}^{{log}_{2}3}=2\times 3=6$

WSKAZÓWKI:

${a}^{m+n}={a}^{m}\times {a}^{n}$

${2}^{1+{log}_{2}3}={2}^{1}\times {2}^{{log}_{2}3}$

1. Rozbij potęgę na iloczyn dwóch potęg o podstawie 2 korzystając ze wzoru:

${2}^{1}\times {2}^{{log}_{2}3}=2\times 3=6$

2. Wykonaj potęgowanie a następnie wymnóż otrzymane wyniki.

$b)\,$ ${3}^{2+{log}_{3}7}={3}^{2}\times {3}^{{log}_{3}7}=9\times 7=63$

$c)$ ${4}^{{log}_{4}6+1}={4}^{{log}_{4}6}\times {4}^{1}=6\times 4=24$

$d)\,$ ${5}^{{log}_{5}7+2}={5}^{{log}_{5}7}\times {5}^{2}=7\times 25=175$

Zadanie 5

Oblicz:

$a)\, {10}^{2-log5}$

ROZWIĄZANIE:

${10}^{2-log5}={10}^{2}\div {10}^{log5}=100\div 5=20$

WSKAZÓWKI:

${a}^{m-n}={a}^{m}\div {a}^{n}$

${10}^{2-log5}={10}^{2}\div {10}^{log5}$

1. Rozbij potęgę na iloraz dwóch potęg o podstawie 10 korzystając z następującego wzoru:

${10}^{2}\div {10}^{log5}=100\div 5=20$

2. Wykonaj potęgowanie (zgodnie z kolejnością wykonywania działań) a następnie dzielenie i zapisz otrzymany wynik.

Zadanie 6

Oblicz:

$a)\, {5}^{-1+{2log}_{5}4}$

ROZWIĄZANIE:

${5}^{-1+{2log}_{5}4}={5}^{-1}\times {5}^{{2log}_{5}4}={5}^{-1}\times {5}^{{log}_{5}{4}^{2}}={5}^{-1}\times {5}^{{log}_{5}16}=\frac {1} {5}\times 16=\frac {1} {5}\times \frac {16} {1}=\frac {16} {5}=3\frac {1} {5}$

WSKAZÓWKI:

${a}^{m+n}={a}^{m}\times {a}^{n}$

${5}^{-1+{2log}_{5}4}={5}^{-1}\times {5}^{{2log}_{5}4}$

1. Rozbij potęgę na iloczyn dwóch potęg o podstawie 5 korzystając ze wzoru na iloczyn potęg o tych samych podstawach.

${5}^{-1}\times {5}^{{2log}_{5}4}={5}^{-1}\times {5}^{{log}_{5}{4}^{2}}$

2. Przenieś liczbę znajdującą się tuż przed logarytmem i zapisz ją jako wykładnik liczby logarytmowanej.

${5}^{-1}\times {5}^{{log}_{5}{4}^{2}}={5}^{-1}\times {5}^{{log}_{5}16}$

3. Wykonaj potęgowanie liczby logarytmowanej znajdującej się w wykładniku.

${5}^{-1}\times {5}^{{log}_{5}16}={(\frac {1} {5})}^{1}\times 16=\frac {1} {5}\times 16$

4. Wykonaj potęgowanie korzystając z odpowiednich wzorów.

$\frac {1} {5}\times 16=\frac {1} {5}\times \frac {16} {1}=\frac {16} {5}=3\frac {1} {5}$

5. Wykonaj mnożenie i zapisz wynik.

Zadanie 7

Oblicz:

$a)\, {36}^{{log}_{6}5-\frac {1} {4}}$

ROZWIĄZANIE:

${36}^{{log}_{6}5-\frac {1} {4}}={{(6}^{2})}^{{log}_{6}5-\frac {1} {4}}={6}^{{2\times (log}_{6}5-\frac {1} {4})}={6}^{{2log}_{6}5-\frac {2} {4}}={6}^{{log}_{6}{5}^{2}-\frac {2} {4}}={6}^{{log}_{6}25-\frac {1} {2}}$

${6}^{{log}_{6}25-\frac {1} {2}}={6}^{{log}_{6}25}\div {6}^{\frac {1} {2}}=25\div \sqrt {6}=\frac {25} {\sqrt {6}}\times \frac {\sqrt {6}} {\sqrt {6}}=\frac {25\sqrt {6}} {\sqrt {36}}=\frac {25\sqrt {6}} {6}$

WSKAZÓWKI:

${36}^{{log}_{6}5-\frac {1} {4}}={{(6}^{2})}^{{log}_{6}5-\frac {1} {4}}$

1. Zapisz podstawę potęgi w taki sposób aby była identyczna jak liczba przy podstawie logarytmu znajdującego się w wykładniku tej potęgi.

${({a}^{m})}^{n}={a}^{m\times n}$

${{(6}^{2})}^{{log}_{6}5-\frac {1} {4}}={6}^{2\times ({log}_{6}5-\frac {1} {4})}={6}^{2{log}_{6}5-\frac {2} {4}}$

2. Wykonaj potęgowanie potęgi korzystając ze wzoru.

${6}^{2{log}_{6}5-\frac {2} {4}}={6}^{{log}_{6}{5}^{2}-\frac {2} {4}}={6}^{{log}_{6}25-\frac {2} {4}}$

3. Przenieś liczbę znajdującą się tuż przed logarytmem i zapisz ją w wykładniku potęgi a następnie wykonaj potęgowanie.

${6}^{{log}_{6}25-\frac {2} {4}}={6}^{{log}_{6}25-\frac {1} {2}}={6}^{{log}_{6}25}\div {6}^{\frac {1} {2}}$

4. Rozbij potęgę na iloraz dwóch potęg.

${6}^{{log}_{6}25}\div {6}^{\frac {1} {2}}=25\div {6}^{\frac {1} {2}}$

5. Stosując wzór na logarytm w wykładniku potęgi wykonaj obliczenia.

${a}^{\frac {1} {n}}=\sqrt[{n}] {a}$

$25\div {6}^{\frac {1} {2}}=25\div \sqrt {6}$

6. Zamień potęgę o wykładniku ułamkowym (wymiernym) na pierwiastek korzystając ze wzoru.

$25\div \sqrt {6}=\frac {25} {\sqrt {6}}\times \frac {\sqrt {6}} {\sqrt {6}}=\frac {25\sqrt {6}} {\sqrt {36}}=\frac {25\sqrt {6}} {6}$

7. Wykonaj dzielenie. Usuń niewymierność z mianownika i zapisz wynik w najprostszej postaci.

Zadanie 8

Oblicz:

$a)\, {27}^{{log}_{3}2-\frac {1} {3}}$

ROZWIĄZANIE:

${27}^{{log}_{3}2-\frac {1} {3}}={{(3}^{3})}^{{log}_{3}2-\frac {1} {3}}={3}^{3\times ({log}_{3}2-\frac {1} {3})}={3}^{{3log}_{3}2-\frac {3} {3}}={3}^{{log}_{3}{2}^{3}-1}={3}^{{log}_{3}8-1}={3}^{{log}_{3}8}\div {3}^{1}=\frac {8} {3}=2\frac {2} {3}$

WSKAZÓWKI:

${27}^{{log}_{3}2-\frac {1} {3}}={{(3}^{3})}^{{log}_{3}2-\frac {1} {3}}$

1. Zapisz podstawę potęgi w taki sposób aby była identyczna jak liczba przy podstawie logarytmu znajdującego się w wykładniku tej potęgi.

${({a}^{m})}^{n}={a}^{m\times n}$

${{(3}^{3})}^{{log}_{3}2-\frac {1} {3}}={3}^{3{\times (log}_{3}2-\frac {1} {3})}={3}^{{3log}_{3}2-1}$

2. Wykonaj potęgowanie potęgi korzystając ze wzoru.

${3}^{{3log}_{3}2-1}={3}^{{log}_{3}{2}^{3}-1}={3}^{{log}_{3}8-1}$

3. Przenieś liczbę znajdującą się tuż przed logarytmem i zapisz ją w wykładniku potęgi a następnie wykonaj potęgowanie.

${3}^{{log}_{3}8-1}={3}^{{log}_{3}8}\div {3}^{1}$

4. Rozbij potęgę na iloraz dwóch potęg.

${3}^{{log}_{3}8}\div {3}^{1}=8\div 3=\frac {8} {3}=2\frac {2} {3}$

5. Oblicz.

Zadanie 9

Oblicz:

$a)\, {2}^{5-\frac {1} {3}{log}_{2}27}$

ROZWIĄZANIE:

${2}^{5-\frac {1} {3}{log}_{2}27}={2}^{5-{log}_{2}{27}^{\frac {1} {3}}}={2}^{5-{log}_{2}\sqrt[{3}] {27}}={2}^{5-{log}_{2}3}$

${2}^{5-{log}_{2}3}={2}^{5}\div {2}^{{log}_{2}3}=32\div 3=\frac {32} {3}=10\frac {2} {3}$

WSKAZÓWKI:

${2}^{5-\frac {1} {3}{log}_{2}27}={2}^{5-{log}_{2}{27}^{\frac {1} {3}}}$

1. Przenieś liczbę znajdującą się tuż przed logarytmem i zapisz ją w wykładniku potęgi.

${2}^{5-{log}_{2}{27}^{\frac {1} {3}}}={2}^{5-{log}_{2}\sqrt[{3}] {27}}={2}^{5-{log}_{2}3}$

2. Zamień potęgę o wykładniku ułamkowym (wymiernym) na pierwiastek korzystając z odpowiedniego wzoru a następnie oblicz pierwiastek znajdujący się w wykładniku.

${2}^{5-{log}_{2}3}={2}^{5}\div {2}^{{log}_{2}3}=32\div 3=\frac {32} {3}=10\frac {2} {3}$

3. Rozbij potęgę na iloraz dwóch potęg a następnie wykonaj obliczenia i zapisz wynik.

Course Features

Lectures 0
Quizzes 0
Duration 50 hours
Skill level All levels
Language English
Students 0
Assessments Yes

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Students

Free

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Obliczanie logarytmów

Students

Free

LICEUM / TECHNIKUM

Logarytm potęgi

Course Features

Podobne zadania

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Obliczanie logarytmów

Zostaw komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi