Mediana
Temat: Mediana.
Mediana jest to wartość środkowa w uporządkowanym zbiorze danych statystycznych. W przypadku parzystej liczby elementów w zbiorze, wartość mediany jest średnią arytmetyczną z dwóch środkowych wartości.
Medianę obliczamy następującymi wzorami:
– dla n nieparzystych:
– dla n parzystych:
Należy pamiętać, że zanim wyznaczymy medianę konieczne jest uporządkowanie liczb od najmniejszej do największej ( tzn. w kolejności niemalejącej).
Zadanie 1
Wyznacz medianę danych liczb:
ROZWIĄZANIE:
SPOSÓB I
KROK I – Uporządkuj liczby w kolejności niemalejącej (od najmniejszej do największej). Liczby możesz oddzielić przecinkiem bądź znakiem “większy lub równy”.
KROK II – Wyznacz medianę. Jeśli w zbiorze danych znajduje się nieparzysta liczba elementów ( w tym przypadku 11 elementów) to medianą będzie środkowa liczba (tu – szósta)
SPOSÓB II – podstawienie do wzoru na medianę.
KROK I – Uporządkuj liczby w kolejności niemalejącej (od najmniejszej do największej).
KROK II – Określ liczbę wyrazów.
KROK III – Zastosuj wzór na medianę dla nieparzystej liczby wyrazów.
SPOSÓB I
KROK I – Uporządkuj liczby w kolejności niemalejącej (od najmniejszej do największej).
KROK II – Wyznacz medianę. W tym przypadku liczba elementów w zbiorze jest parzysta, więc aby wyznaczyć wartość środkową należy wybrać dwie środkowe liczby i obliczyć z nich średnią arytmetyczną.
SPOSÓB II
KROK I – Uporządkuj liczby w kolejności niemalejącej (od najmniejszej do największej).
KROK II – Określ liczbę wyrazów.
KROK III – Zastosuj wzór na medianę dla parzystej liczby wyrazów.
Zadanie 2
Wyznacz medianę zbioru danych statystycznych przedstawionych w postaci:
a) zestawu liczb:
b) tabeli liczebności:
c) diagramu kolumnowego:
d) diagramu słupkowego:
ROZWIĄZANIE:
Jeżeli dane są przedstawione są za pomocą tabeli liczebności to należy pamiętać, że liczebność informuje o tym ile razy w danym zbiorze występuje przypisana do niej wartość, tzn. jeżeli wartości 3 odpowiada liczebność 7 to znaczy, że liczba trzy występuje w tym zbiorze siedem razy.
Aby więc ustalić medianę danych przedstawionych za pomocą tabeli liczebności, należy wypisać wszystkie wartości w kolejności niemalejącej zwracając uwagę na to ile razy dana liczba występuje, a następnie wybrać wartość środkową ( w tym przypadku jest to dziesiąta liczba, ponieważ w całym zbiorze znajduje się dziewiętnaście liczb) .
W przypadku danych przedstawionych za pomocą diagramu kolumnowego, wartości zaznaczone są na osi poziomej, natomiast oś pionowa informuje o liczebności. Podobnie jak w przypadku tabeli, wypisujemy wszystkie wartości w kolejności niemalejącej, zwracając uwagę na to ile razy dana liczba występuje a następnie wybieramy wartość środkową. W tym przypadku liczba danych statystycznych jest parzysta ( wynosi 18) dlatego mediana będzie równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wartości badanej cechy.
W ostatnim przykładzie dane prezentowane są na diagramie słupkowym. Wartości w tym przypadku zaznaczone są na osi pionowej a ich liczebność opisuje oś pozioma. Chcąc wyznaczyć medianę tego zbioru należy wypisać w kolejności niemalejącej wszystkie wartości uwzględniając ich liczebność a następnie określić wartość środkową (którą w tym przypadku będzie będzie dziesiąta liczba).
Zadanie 3
W kolejnych sześciu rzutach kostką otrzymano następujące wyniki: 6, 3, 1, 2, 5, 5. Oblicz medianę tych wyników.
ROZWIĄZANIE:
Uporządkuj dane w kolejności niemalejącej a następnie wyznacz medianę, która w tym przypadku będzie średnią arytmetyczną trzeciej i czwartej wartości (czyli liczby 3 i liczby 5).
Zadanie 4
W drużynie koszykarskiej zawodnicy mają wzrost odpowiednio: 191 cm, 210 cm, 205 cm, 204 cm, 212 cm. Mediana zbioru tych wartości wynosi:
ROZWIĄZANIE:
Zadanie 5
W pewnej firmie zatrudniającej dziesięć osób miesięcznie wynagrodzenia w złotych poszczególnych osób wynosiły: 3300, 3250, 5500, 3700, 3300, 3700, 4500, 4000, 4200, 7500. Oblicz medianę.
ROZWIĄZANIE:
Zadanie 6
Wypisz wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 30. Oblicz średnią arytmetyczną i wyznacz medianę tych liczb.
ROZWIĄZANIE:
Liczba pierwsza to taka liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki – jedynkę i siebie samą.
UWAGA: Liczba 1 nie jest liczbą pierwszą.
Zadanie 7
W tabeli przedstawiono liczbę nieobecności jednego z uczniów klasy VI w pierwszym semestrze roku szkolnego.
ROZWIĄZANIE:
Oblicz średnią nieobecności tego ucznia oraz medianę zestawu danych.
Zadanie 8
Tabela przedstawia wyniki pomiarów temperatury w ciągu tygodnia o tej samej porze:
Wskaż średnią arytmetyczna oraz medianę otrzymanych wyników.
ROZWIĄZANIE:
Zadanie 9
Średnia arytmetyczna zestawu liczb: x, 10, 20, 25, 18, 26 jest równa 24. Wyznacz x i medianę.
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
1. Do wzoru na średnią arytmetyczną podstaw podane w treści zadania wartości. W liczniku zapisz sumę wszystkich liczb łącznie z x- em, w mianowniku ułamka zapisz z ilu liczb obliczona została średnia (również uwzględniając x). Po drugiej stronie równania zapisz liczbę 24 czyli średnią arytmetyczną sześciu liczb.
2. Oblicz wartość niewiadomej x. Uprość równanie – dodaj liczby w liczniku a następnie pomnóż obie strony równania przez liczbę znajdującą się w mianowniku ułamka. Otrzymasz w ten sposób równanie liniowe z jedną niewiadomą. Przenieś wiadome na prawą stronę równania i wykonaj odejmowanie.
3. Uporządkuj liczby w kolejności niemalejącej (uwzględniając również obliczoną wartość niewiadomej x).
4. Wyznacz medianę. Zestaw danych składa się z sześciu liczb – w związku z tym medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch liczb środkowych ( tu – trzeciej i czwartej liczby).
Zadanie 10
Średnia arytmetyczna zestawu danych: 3, 8, 3, 11, 3, 10, 3, x jest równa 6. Wyznacz medianę tego zestawu danych.
ROZWIĄZANIE:
Zadanie 11
Średnia arytmetyczna zestawu liczb: 9, 7, 4, x, 9, x + 4, 5, 7, 8, 9 wynosi 8. Podaj medianę tego zestawu danych.
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
1. Do wzoru na średnią arytmetyczną podstaw podane w treści zadania wartości. Uwaga: wyrażenie x+4 zapisz w nawiasie abyś w kolejnym kroku nie popełnił błędu i nie potraktował tego jak dwie odrębne liczby.
2. Oblicz wartość niewiadomej x. Uprość wyrażenie w liczniku dodając do siebie wyrazy podobne. Następnie pomnóż obie strony równania przez liczbę znajdującą się w mianowniku ułamka. Przenieś wiadome na prawą stronę a niewiadome zostaw po lewej stronie. Podziel obie strony równania przez liczbę znajdującą się tuż przy niewiadomej x.
3. Wstaw obliczoną wartość w miejsce niewiadomej x.
4. Uporządkuj liczby w kolejności niemalejącej.
5. Wyznacz medianę. W związku z tym, że liczba elementów w tym zbiorze jest parzysta, należy obliczyć średnią arytmetyczną dwóch środkowych wartości.
Zadanie 12
Mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: 1, 2, 3, x, 5, 8 jest równa 4. Oblicz x.
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
Medianą zbioru do którego należy sześć elementów jest średnia arytmetyczna trzeciego i czwartego wyrazu. Mając podaną informację, że wyrazy te są uporządkowane w kolejności niemalejącej wiemy, że wartością środkową jest średnia liczby 3 i niewiadomej x. Ponadto mamy zawartą informację, ile wynosi mediana tego zestawu liczb, dlatego aby obliczyć wartość niewiadomej x podstawiamy dane do wzoru na medianę w zbiorze o parzystej liczbie elementów.
Course Features
- Lectures 0
- Quizzes 0
- Duration 50 hours
- Skill level All levels
- Language English
- Students 0
- Assessments Yes
