Wariancja

Teacher

Temat: Wariancja.

Wariancja jest podstawową miarą zróżnicowania. Jest to średnia arytmetyczna z kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej całej zbiorowości.

Wariancję określa się następującymi wzorami:

${\sigma }^{2}=\frac {{{(x}_{1}-m)}^{2}+{{(x}_{2}-m)}^{2}+.\, .\, .\, +{({x}_{n}-m)}^{2}} {n}$

${\sigma }^{2}=\frac {{x}^{2}_{1}+{x}^{2}_{2}+{.\, .\, .+x}^{2}_{n}} {n}-{m}^{2}$

Zadanie 1

Oblicz wariancję liczb:

$a)\, {x}_{1}=8,\, \, {x}_{2}=-4,\, \, {x}_{3}=5$

$b)\, {x}_{1}=-7,\, \, {x}_{2}=0,\, \, {x}_{3}=10$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$m=\frac {8+(-4)+5} {3}=\frac {9} {3}=3$

${\sigma }^{2}=\frac {{{(x}_{1}-m)}^{2}+{{(x}_{2}-m)}^{2}+.\, .\, .\, +{({x}_{n}-m)}^{2}} {n}$

${\sigma }^{2}=\frac {{(8-3)}^{2}+{(-4-3)}^{2}+{(5-3)}^{2}} {3}=\frac {{5}^{2}+{(-7)}^{2}+{2}^{2}} {3}=\frac {25+49+4} {3}=\frac {78} {3}=26$

WSKAZÓWKI:

$m=\frac {8+(-4)+5} {3}=\frac {9} {3}=3$

1. Oblicz średnią arytmetyczną liczb.

${\sigma }^{2}=\frac {{(8-3)}^{2}+{(-4-3)}^{2}+{(5-3)}^{2}} {3}=\frac {{5}^{2}+{(-7)}^{2}+{2}^{2}} {3}$

${\sigma }^{2}=\frac {25+49+4} {3}=\frac {78} {3}=26$

2. Podstaw dane do wzoru na wariancję i wykonaj obliczenia.

$b)$

$m=\frac {-7+0+10} {3}=\frac {3} {3}=1$

${\sigma }^{2}=\frac {{{(x}_{1}-m)}^{2}+{{(x}_{2}-m)}^{2}+.\, .\, .\, +{({x}_{n}-m)}^{2}} {n}$

${\sigma }^{2}=\frac {{(-7-1)}^{2}+{(0-1)}^{2}+{(10-1)}^{2}} {3}=\frac {{(-8)}^{2}+{(-1)}^{2}+{9}^{2}} {3}=\frac {64+1+81} {3}=\frac {146} {3}=48\frac {2} {3}$

Zadanie 2

Oblicz wariancję danych ze zbioru A={2, 3, 6, 7, 12}.

ROZWIĄZANIE:

$m=\frac {2+3+6+7+12} {5}=\frac {30} {5}=6$

${x}_{1}=2,\, \, {x}_{2}=3,\, \, {x}_{3}=6,\, \, {x}_{4}=7,\, \, {x}_{5}=12$

${\sigma }^{2}=\frac {{{(x}_{1}-m)}^{2}+{{(x}_{2}-m)}^{2}+.\, .\, .\, +{({x}_{n}-m)}^{2}} {n}$

${\sigma }^{2}=\frac {{(2-6)}^{2}+{(3-6)}^{2}+{(6-6)}^{2}+{(7-6)}^{2}+{(12-6)}^{2}} {5}=\frac {{(-4)}^{2}+{(-3)}^{2}+{0}^{2}+{1}^{2}+{6}^{2}} {5}=\frac {16+9+0+1+36} {5}=\frac {62} {5}=12,4$

Zadanie 3

Średnia arytmetyczna zestawu danych: 9, 4, 16, x, 9, 5, 15, 18 jest równa 11. Oblicz wariancję tych 8 liczb.

ROZWIĄZANIE:

$\frac {9+4+16+x+9+5+15+18} {8}=11$

$\frac {76+x} {8}=11\, |\times 8$

$76+x=88$

$x=88-76=12$

${x}_{1}=9,\, \, {x}_{2}=4,\, \, {x}_{3}=16,\, \, {x}_{4}=12,\, \, {x}_{5}=9,\, \, {x}_{6}=5,\, \, {x}_{7}=15,\, \, {x}_{8}=18$

${\sigma }^{2}=\frac {{(9-11)}^{2}+{(4-11)}^{2}+{(16-11)}^{2}+{(12-11)}^{2}+{(9-11)}^{2}+{(5-11)}^{2}+{(15-11)}^{2}+{(18-11)}^{2}} {8}$

${\sigma }^{2}=\frac {{(-2)}^{2}+{(-7)}^{2}+{5}^{2}+{1}^{2}+{(-2)}^{2}+{(-6)}^{2}+{4}^{2}+{7}^{2}} {8}$

${\sigma }^{2}=\frac {4+49+25+1+4+36+16+49} {8}=\frac {184} {8}=23$

WSKAZÓWKI:

1. Oblicz wartość niewiadomej x. Jeżeli znasz średnią arytmetyczną ośmiu liczb to z łatwością możesz policzyć ich sumę (mnożąc średnią 11 przez ich liczbę 8) otrzymując tym samym 88. Dodajesz do siebie wartości siedmiu znanych liczb i zapisujesz, że suma siedmiu liczb (76) plus wartość niewiadomej x wynoszą 88. Teraz rozwiązujesz proste równanie liniowe i przenosisz niewiadome na jedną a wiadome na drugą stronę równania. Odejmując od sumy ośmiu liczb (88) sumę siedmiu liczb otrzymasz wartość niewiadomej x.

$\frac {9+4+16+x+9+5+15+18} {8}=11$

$\frac {76+x} {8}=11\, |\times 8$

$76+x=88$

$x=88-76=12$

2. Znając wartość niewiadomej x, możesz podstawić wszystkie liczby do wzoru na wariancję.

${\sigma }^{2}=\frac {{{(x}_{1}-m)}^{2}+{{(x}_{2}-m)}^{2}+.\, .\, .\, +{({x}_{n}-m)}^{2}} {n}$

${x}_{1}=9,\, \, {x}_{2}=4,\, \, {x}_{3}=16,\, \, {x}_{4}=12,\, \, {x}_{5}=9,\, \, {x}_{6}=5,\, \, {x}_{7}=15,\, \, {x}_{8}=18$

${\sigma }^{2}=\frac {{(9-11)}^{2}+{(4-11)}^{2}+{(16-11)}^{2}+{(12-11)}^{2}+{(9-11)}^{2}+{(5-11)}^{2}+{(15-11)}^{2}+{(18-11)}^{2}} {8}$

${\sigma }^{2}=\frac {{(-2)}^{2}+{(-7)}^{2}+{5}^{2}+{1}^{2}+{(-2)}^{2}+{(-6)}^{2}+{4}^{2}+{7}^{2}} {8}$

${\sigma }^{2}=\frac {4+49+25+1+4+36+16+49} {8}=\frac {184} {8}=23$

Zadanie 4

Monika uzyskała na koniec roku szkolnego następujące oceny: 5, 5, 6, 4, 5, 4, 4, 5, 5, 5.Oblicz wariancję.

ROZWIĄZANIE:

$m=\frac {5+5+6+4+5+4+4+5+5+5} {10}=\frac {48} {10}=4,8$

${\sigma }^{2}=\frac {{5}^{2}+{5}^{2}+{6}^{2}+{4}^{2}+{5}^{2}+{4}^{2}+{4}^{2}+{5}^{2}+{5}^{2}+{5}^{2}} {10}-{(4,8)}^{2}$

${\sigma }^{2}=\frac {25+25+36+16+25+16+16+25+25+25} {10}-23,04$

${\sigma }^{2}=\frac {234} {10}-23,04$

${\sigma }^{2}=23,4-23,04=0,36$

WSKAZÓWKI:

Jeżeli średnia arytmetyczna danych nie jest liczbą całkowitą to warto zastosować ten wzór na wariancję: ${\sigma }^{2}=\frac {{x}^{2}_{1}+{x}^{2}_{2}+{.\, .\, .+x}^{2}_{n}} {n}-{m}^{2}$ Dzięki temu unikniesz kilkukrotnego podnoszenia do potęgi ułamków, co znacznie ułatwi obliczenia.

Zadanie 5

Poniższa tabela przedstawia miesięczne wynagrodzenie pracowników pewnej firmy.

Oblicz wariancję.

$m=\frac {3\times 850+2\times 1240+1300+4\times 1820+3\times 2210+2\times 2430+3\times 3840+2\times 4250+5400} {21}$

$m=\frac {2550+2480+1300+7280+6630+4860+11520+8500+5400} {21}=\frac {50520} {21}=2405,7142...\approx 2405,71\, [zł]$

${\sigma }^{2}=\frac {{3\times 850}^{2}+{2\times 1240}^{2}+{1300}^{2}+{4\times 1820}^{2}+{3\times 2210}^{2}+{2\times 2430}^{2}+{3\times 3840}^{2}+{2\times 4250}^{2}+{5400}^{2}} {21}-{(2405,71)}^{2}$

${\sigma }^{2}\approx \frac {3\times 72250+2\times 1537600+1690000+4\times 3312400+3\times 4884100+2\times 5904900+3\times 14745600+2\times 18062500+29160000} {21}$

$-{(2406)}^{2}$

${\sigma }^{2}\approx \frac {2167500+3075200+1690000+13249600+14652300+11809800+44236800+361250000+29160000} {21}-578836$

${\sigma }^{2}\approx \frac {156166200} {21}-5788836$

${\sigma }^{2}\approx 7436486-5788836$

${\sigma }^{2}\approx 1647650$

$\sigma =\sqrt {1647650}$

$\sigma =1284$

WSKAZÓWKI:

1.Oblicz średnią arytmetyczną wynagrodzenia pracowników. Zauważ, że większość wynagrodzeń jest taka sama dla kilku pracowników i dlatego niektóre kwoty są pomnożone przez dwa lub trzy w zależności od tego ilu pracowników otrzymuje dane wynagrodzenie.

$m=\frac {2550+2480+1300+7280+6630+4860+11520+8500+5400} {21}=\frac {50520} {21}=2405,7142...\approx 2405,71\, [zł]$

2. Podstaw dane do wzoru nie zapominając o tym aby stawki, które występują więcej niż jeden raz pomnożyć przez liczbę pracowników, którzy tę stawkę otrzymują.

3. Wykonaj obliczenia zgodnie z kolejnością wykonywania zadań (najpierw potęgowanie, potem mnożenie).

UWAGA: Średnią arytmetyczną została zaokrąglona staż też zamiast wartości 2405,71 mamy 2406.

${\sigma }^{2}\approx \frac {3\times 72250+2\times 1537600+1690000+4\times 3312400+3\times 4884100+2\times 5904900+3\times 14745600+2\times 18062500+29160000} {21}$

$-{(2406)}^{2}$

${\sigma }^{2}\approx \frac {2167500+3075200+1690000+13249600+14652300+11809800+44236800+361250000+29160000} {21}-578836$ ${\sigma }^{2}\approx \frac {156166200} {21}-5788836$

${\sigma }^{2}\approx 7436486-5788836$

${\sigma }^{2}\approx 1647650$

$\sigma =\sqrt {1647650}$

$\sigma =1284$

Course Features

Lectures 0
Quizzes 0
Duration 50 hours
Skill level All levels
Language English
Students 0
Assessments Yes

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Mediana

Students

Free

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Rozstęp

Students

Free

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Średnia arytmetyczna

Students

Free

LICEUM / TECHNIKUM

Wariancja

Temat: Wariancja.

Course Features

Mediana

Rozstęp

Średnia arytmetyczna

Zostaw komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

LICEUM / TECHNIKUM

Wariancja

Temat: Wariancja.

Course Features

Podobne zadania

Mediana

Rozstęp

Średnia arytmetyczna

Zostaw komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi