Równania wymierne

Teacher

Temat: Równania wymierne.

Rozwiązywanie równania wymiernego:

Równanie wymierne z niewiadomą x to równanie, które można zapisać w postaci:

$\frac {W(x)} {V(x)}=0$

gdzie W(x) i V(x) to sumy algebraiczne, V(x) ≠ 0

Zanim przystąpimy do rozwiązania równania wymiernego musimy wyznaczyć dziedzinę tego równania, czyli określić wszystkie wartości x, dla których mianownik równania przyjmuje wartości różne od zera. Kolejnym krokiem jest przekształcenie równania wymiernego w taki sposób aby otrzymać równanie liniowe, kwadratowe lub wielomianowe. Po rozwiązaniu równania sprawdzamy czy wyznaczone wartości należą do dziedziny równania.

Zadanie 1

Rozwiąż równania:

$a)\, \frac {x+2} {x-2}=0$

$b)\, \frac {{x}^{2}-1} {(x+2)(x-1)}=0$

$c)\, \frac {25-{x}^{2}} {(x-5)(x+5)}=0$

$d)\, \frac {{x}^{2}+36} {(x-5)(x+3)}=0$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\frac {x+2} {x-2}=0\, |\times (x-2)$

$\frac {x+2} {x-2}\times (x-2)=0\times (x-2)$

$x+2=0$

$x=-2$

$x-2\neq 0$

$x\neq 2$

$D:\, R\backslash \{ 2\}$

WSKAZÓWKI:

$x-2\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 2\}$

1. Wyznacz dziedzinę (wyznacz wszystkie wartości x, dla których mianownik równania przyjmuje wartości różne od zera).

$\frac {x+2} {x-2}=0\, |\times (x-2)$

$\frac {x+2} {x-2}\times (x-2)=0\times (x-2)$

2. Obie strony równania pomnóż przez wyrażenie znajdujące się w mianowniku ułamka.

Dzięki temu po lewej stronie pozostanie jedynie wyrażenie z licznika ułamka a po prawej zero.

$x+2=0$

$x=-2$

3. Przyrównaj wyrażenie do zera i rozwiąż otrzymane równanie liniowe.

Pamiętaj, że przenosząc na drugą stronę równania zmieniamy znak na przeciwny (stąd zamiast 2 jest –2).

$x=-2\, \in \, D$

4. Sprawdź czy otrzymana liczba należy do dziedziny i zapisz rozwiązanie.

$b)$

$\frac {{x}^{2}-1} {(x+2)(x-1)}=0\, |\times (x+2)(x-1)$

${x}^{2}-1=0$

${x}^{2}=1$

$x=1,\, \, \, \, \, \, x=-1$

$x=-1\, \in \, D$

$x+2\neq 0,\, \, \, \, \, \, x-1\neq 0$

$x\neq -2,\, \, \, \, \, \, x\neq 1$

$D:\, R\backslash \{ -2,\, 1\}$

UWAGA: Pamiętaj aby zawsze sprawdzić czy otrzymany wynik należy do dziedziny. W tym przypadku pomimo dwóch wyników tylko jedna wartość należy do dziedziny i to ona jest właśnie rozwiązaniem tego równania.

$c)$

$\, \frac {25-{x}^{2}} {(x-2)(x+2)}=0\, |\times (x-2)(x+2)$

$25-{x}^{2}=0$

${x}^{2}=25$

$x=5,\, \, \, \, \, \, x=-5$

$(x-2)(x+2)\neq 0$

$x-2\neq 0,\, \, \, \, \, \, x+2\neq 0$

$x\neq 2,\, \, \, \, \, \, x\neq -2$

$D:\, R\backslash \{ -2,\, 2\}$

W tym przypadku oba wyniki są rozwiązaniem, ponieważ oba należą do dziedziny równania.

$d)$

$\frac {{x}^{2}+36} {(x-5)(x+3)}=0\, |\div (x-5)(x+3)$

${x}^{2}+36=0$

${x}^{2}=-36$

$(x-5)(x+3)\neq 0$

$x-5\neq 0,\, \, \, \, \, \, x+3\neq 0$

$x\neq 5,\, \, \, \, \, \, x\neq -3$

$D:\, R\backslash \{ -3,\, 5\}$

Brak rozwiązania, ponieważ nie istnieje liczba, która w wyniku podniesienia do kwadratu da wynik ujemny.

Zadanie 2

Rozwiąż równania:

$a)\, \frac {x+3} {x+5}=\frac {x-1} {x-3}$

$b)\, \frac {x-2} {x+1}=\frac {x-5} {x+2}$

$c)\, \frac {2x-1} {x-1}=\frac {4x+1} {2x+1}$

$d)\, \frac {2x+3} {4x-5}=\frac {4x+5} {8x-7}$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\frac {x+3} {x+5}=\frac {x-1} {x-3}$

$(x+3)\times (x-3)=(x+5)\times (x-1)$

${x}^{2}-9={x}^{2}-x+5x-5$

$-9=4x-5$

$-4x=-5+9$

$-4x=4\, \, |\div (-4)$

$x=-1$

$x+5\neq 0,\, \, \, \, \, \, x-3\neq 0$

$x\neq -5,\, \, \, \, \, \, x\neq 3$

$D:\, R\backslash \{ -5,\, 3\}$

WSKAZÓWKI:

$x+5\neq 0,\, \, \, \, \, \, x-3\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ -5,\, 3\}$

1. Wyznacz dziedzinę równania.

$(x+3)\times (x-3)=(x+5)\times (x-1)$

2. Przekształć równanie, stosując “mnożenie na krzyż” (licznik ułamka po prawej stronie przez mianownik ułamka po prawej oraz mianownik ułamka po lewej stronie przez licznik ułamka po prawej). Dzięki temu przekształceniu otrzymasz równoważną postać równania, które należy uprościć w dalszych etapach.

${x}^{2}-9={x}^{2}-x+5x-5$

3. Wykonaj mnożenie po obu stronach równania. Wykonując działania po lewej stronie skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia (TUTAJ), nawiasy po prawej stronie pomnóż przez siebie (każdy element pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy element drugiego nawiasu).

$-9=4x-5$

$-4x=-5+9$

4. Zredukuj wyrazy podobne i przenieś niewiadome na lewą a wiadome na prawą stronę równania (pamiętaj o zmianie znaku na przeciwny).

$-4x=4\, \, |\div (-4)$

$x=-1\, \, \in \, D$

5. Rozwiąż równanie. Sprawdź czy otrzymany wynik należy do dziedziny.

$b)$

$\frac {x-2} {x+1}=\frac {x-5} {x+2}$

$(x-2)\times (x+2)=(x+1)\times (x-5)$

${x}^{2}-4={x}^{2}-5x+x-5$

$-4=-4x-5$

$4x=-1\, \, |\div 4$

$x=-\frac {1} {4}$

$x+1\neq 0,\, \, \, \, \, \, x+2\neq 0$

$x=-1,\, \, \, \, \, \, x=-2$

$D:\, R\backslash \{ -2,\, -1\}$

$c)$

$\frac {2x-1} {x-1}=\frac {4x+1} {2x+1}$

$(2x-1)\times (2x+1)=(x-1)\times (4x+1)$

$4{x}^{2}-1={4x}^{2}+x-4x-1$

$0=-3x$

$-3x=0\, \, |\div (-3)$

$x=0$

$x-1\neq 0,\, \, \, \, \, \, \, 2x+1\neq 0$

$x\neq 1,\, \, \, \, \, \, \, 2x\neq -1\, \, |\div 2$

$x\neq 1,\, \, \, \, \, \, \, x\neq -\frac {1} {2}$

$D:\, R\backslash \{ -\frac {1} {2},\, 1\}$

$d)$

$\frac {2x+3} {4x-5}=\frac {4x+5} {8x-7}$

$(2x+3)\times (8x-7)=(4x-5)\times (4x+5)$

${16x}^{2}-14x+24x-21={16x}^{2}-25$

$10x-21=-25$

$10x=-4\, \, |\div 10$

$x=-\frac {4} {10}=-\frac {2} {5}$

$4x-5\neq 0,\, \, \, \, \, \, \, 8x-7\neq 0$

$4x\neq 5\, \, |\div 4,\, \, \, \, \, \, \, 8x\neq 7\, \, |\div 8$

$x\neq \frac {5} {4},\, \, \, \, \, \, x\neq \frac {7} {8}$

$D:\, R\backslash \{ \frac {7} {8},\, \frac {5} {4}\}$

Zadanie 3

Rozwiąż równania:

$a)\, \frac {x} {8}=\frac {2} {x}$

$b)\, \frac {3} {x}=\frac {x} {27}$

$c)\, \frac {{x}^{2}} {4}=\frac {16} {x}$

$d)\, \frac {5} {x}=\frac {{x}^{2}} {25}$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\frac {x} {8}=\frac {2} {x}$

$x\times x=8\times 2$

${x}^{2}=16$

$x=4,\, \, \, \, \, \, x=-4$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

WSKAZÓWKI:

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

1. Wyznacz dziedzinę.

$x\times x=8\times 2$

2. Wykonaj mnożenie “na krzyż”.

${x}^{2}=16$

$x=4,\, \, \, \, \, \, x=-4$

3. Rozwiąż równanie i sprawdź czy otrzymane wyniki należą do dziedziny.

$b)$

$\frac {3} {x}=\frac {x} {27}$

$3\times 27=x\times x$

$81={x}^{2}$

$x=9,\, \, \, \, \, \, x=-9$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

$c)$

$\frac {{x}^{2}} {4}=\frac {16} {x}$

${x}^{2}\times x=4\times 16$

${x}^{3}=64$

$x=4$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

$d)$

$\frac {5} {x}=\frac {{x}^{2}} {25}$

$5\times 25=x\times {x}^{2}$

$125={x}^{3}$

$x=5$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

Zadanie 4

Rozwiąż równania.

$a)\, \frac {4x-3} {-x-8}=\frac {1} {2}$

$b)\, \frac {x-5} {x+3}=\frac {2} {3}$

$c)\, \frac {x-5} {7-x}=\frac {1} {3}$

$d)\, \frac {2-3x} {1-2x}=-\frac {1} {2}$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\frac {4x-3} {-x-8}=\frac {1} {2}$

$(4x-3)\times 2=(-x-8)\times 1$

$8x-6=-x-8$

$8x+x=-8+6$

$9x=-2\, \, |\div 9$

$x=-\frac {2} {9}$

$-x-8\neq 0$

$x\neq -8$

$D:\, R\backslash \{ -8\}$

WSKAZÓWKI:

$-x-8\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ -8\}$

1. Wyznacz dziedzinę wyrażenia.

$(4x-3)\times 2=(-x-8)\times 1$

2. Przekształć równanie stosując mnożenie “na krzyż”.

$8x-6=-x-8$

3. Wykonaj mnożenie po obu stronach równania. Zwracaj uwagę na znaki.

$8x+x=-8+6$

4. Przenieś niewiadome na lewą stronę równania a wiadome na prawą.

$9x=-2\, \, |\div 9$

$x=-\frac {2} {9}\, \in \, D$

5. Rozwiąż równanie. Sprawdź czy wynik należy do dziedziny i zapisz rozwiązanie.

$b)$

$\frac {x-5} {x+3}=\frac {2} {3}$

$(x-5)\times 3=(x+3)\times 2$

$3x-15=2x+6$

$3x-2x=6+15$

$x=21$

$x+3\neq 0$

$x\neq -3$

$D:\, R\backslash \{ -3\}$

$c)$

$\frac {x-5} {7-x}=\frac {1} {3}$

$(x-5)\times 3=(7-x)\times 1$

$3x-15=7-x$

$3x+x=7+15$

$4x=22\, \, |\div 4$

$x=\frac {22} {4}=5\frac {2} {4}=5\frac {1} {2}$

$7-x\neq 0$

$x\neq 7$

$D:\, R\backslash \{ 7\}$

$d)$

$\frac {2-3x} {1-2x}=-\frac {1} {2}$

$(2-3x)\times (-2)=(1-2x)\times 1$

$-4+6x=1-2x$

$6x+2x=1+4$

$8x=5\, \, |\div 8$

$x=\frac {5} {8}$

$1-2x\neq 0$

$2x\neq 1\, \, |\div 2$

$x\neq \frac {1} {2}$

$D:\, R\backslash \{ \frac {1} {2}\}$

Zadanie 5

Rozwiąż równania:

$a)\, \frac {12x+6} {6x+12}=3$

$b)\, \frac {2x-3} {4-7x}=6$

$c)\, \frac {4-x} {2-x}=8$

$d)\, \frac {8-3x} {2x-2}=-3$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\frac {12x+6} {6x+12}=3$

$\frac {12x+6} {6x+12}=\frac {3} {1}$

$(12x+6)\times 1=(6x+12)\times 3$

$12x+6=18x+36$

$12x-18x=36-6$

$-6x=30\, \, |\div (-6)$

$x=-\frac {30} {6}=-5$

$6x+12\neq 0$

$6x\neq -12\, \, |\div 6$

$x\neq -2$

$D:\, R\backslash \{ -2\}$

WSKAZÓWKI:

$6x+12\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ -2\}$

1. Wyznacz dziedzinę równania (wyznacz wszystkie wartości dla których mianownik równania przyjmuje wartości różne od zera).

$\frac {12x+6} {6x+12}=\frac {3} {1}$

$(12x+6)\times 1=(6x+12)\times 3$

2. Zapisz liczbę 3 jako iloraz (przedstaw 3 w formie ułamka) a następnie przekształć równanie stosując mnożenie “na krzyż”.

$12x+6=18x+36$

3. Wykonaj mnożenie po obu stronach równania.

$12x-18x=36-6$

4. Przenieś niewiadome na lewą stronę a wiadome na prawą stronę równania.

$-6x=30\, \, |\div (-6)$

$x=-\frac {30} {6}=-5$

5. Rozwiąż równanie. Sprawdź czy wynik należy do dziedziny i zapisz rozwiązanie.

$b)$

$\frac {2x-3} {4-7x}=6$

$2x-3=(4-7x)\times 6$

$2x-3=24-42x$

$2x+42x=24+3$

$44x=27\, \, |\div 44$

$x=\frac {27} {44}$

$4-7x\neq 0$

$7x\neq 4\, \, |\div 7$

$x\neq \frac {4} {7}$

$D:\, R\backslash \{ \frac {4} {7}\}$

$c)$

$\frac {4-x} {2-x}=8$

$4-x=(2-x)\times 8$

$4-x=16-8x$

$-x+8x=16-4$

$7x=12\, \, |\div 7$

$x=\frac {12} {7}$

$2-x\neq 0$

$x\neq 2$

$D:\, R\backslash \{ 2\}$

$d)$

$\frac {8-3x} {2x-2}=-3$

$8-3x=(2x-2)\times (-3)$

$8-3x=-6x+6$

$-3x+6x=6-8$

$3x=-2\, \, |\div 3$

$x=-\frac {2} {3}$

$2x-2\neq 0$

$2x\neq 2\, \, |\div 2$

$x\neq 1$

$D:\, R\backslash \{ 1\}$

Zadanie 6

Rozwiąż równania:

$a)\, -\frac {1} {x}=x+2$

$b)\, \frac {6} {x}=x-1$

$c)\, \frac {5} {x}-9=2x$

$d)\, 6x+1=\frac {2} {x}$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$-\frac {1} {x}=x+2$

$-\frac {1} {x}=x+2\, |\times x$

$-1={x}^{2}+2x$

${x}^{2}+2x+1=0$

$\Delta ={b}^{2}-4ac$

$\Delta ={2}^{2}-4\times 1\times 1=4-4=0$

$\Delta =0$

${x}_{0}=\frac {-b} {2a}=\frac {-2} {2}=-1$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

WSKAZÓWKI:

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

1. Wyznacz dziedzinę równania.

$-\frac {1} {x}=x+2\, |\times x$

$-1={x}^{2}+2x$

2. Przekształć wyrażenie do równoważnej postaci równania mnożąc obie strony równania przez mianownik ułamka

${x}^{2}+2x+1=0$

3. Przenieś wszystko na lewą stronę równania a po prawej zapisz zero otrzymując w ten sposób równanie kwadratowe.

$\Delta ={b}^{2}-4ac$

$\Delta ={2}^{2}-4\times 1\times 1=4-4=0$

4. Oblicz deltę (jeśli delta będzie mniejsza od zera to równanie nie ma rozwiązania, jeśli wyniesie zero to rozwiązanie jest jedno a jeśli delta jest większa od zera to istnieją dwa rozwiązania równania).

${x}_{0}=\frac {-b} {2a}=\frac {-2} {2}=-1$

5. Delta jest równa zero w związku z tym istnieje jedno rozwiązanie równania, które należy obliczyć ze wzoru.

${x}_{0}=-1\, \in \, D$

6. Sprawdź czy otrzymany wynik należy do dziedziny i zapisz rozwiązanie równania.

$b)$

$\frac {6} {x}=x-1\, |\times x$

$6={x}^{2}-x$

${x}^{2}-x-6=0$

$\Delta ={(-1)}^{2}-4\times 1\times (-6)=1+24=25$

$\sqrt {\Delta }=\sqrt {25}=5$

${x}_{1}=\frac {-b-\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-(-1)-5} {2\times 1}=\frac {1-5} {2}=\frac {-4} {2}=-2$

${x}_{2}=\frac {-b+\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-(-1)+5} {2\times 1}=\frac {1+5} {2}=\frac {6} {2}=3$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

UWAGA: W tym przypadku delta jest większa od zera w związku z czym istnieją dwa rozwiązania równania (oba należą do dziedziny).

$c)$

$\frac {5} {x}-9=2x\, |\times x$

$5-9x={2x}^{2}$

${2x}^{2}+9x-5=0$

$\Delta ={9}^{2}-4\times 2\times (-5)=81+40=121$

$\sqrt {\Delta }=\sqrt {121}=11$

${x}_{1}=\frac {-b-\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-9-11} {2\times 2}=\frac {-20} {4}=-5$

${x}_{2}=\frac {-b+\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-9+11} {2\times 2}=\frac {2} {4}=\frac {1} {2}$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

$d)$

$6x+1=\frac {2} {x}\, \, |\times x$

${6x}^{2}+x=2$

${6x}^{2}+x-2=0$

$\Delta ={1}^{2}-4\times 6\times (-2)=1+48=49$

$\sqrt {\Delta }=\sqrt {49}=7$

${x}_{1}=\frac {-b-\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-1-7} {2\times 6}=\frac {-8} {12}=-\frac {2} {3}$

${x}_{2}=\frac {-b+\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-1+7} {2\times 6}=\frac {6} {12}=\frac {1} {2}$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

Zadanie 7

Rozwiąż równania:

$a)\, x=\frac {5x+3} {2x}$

$b)\, x+1=\frac {2-2x} {x-1}$

$c)\, \frac {2x+4} {2x-1}=x-1$

$d)\, \frac {3x+3} {x+2}=3-x$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$x=\frac {5x+3} {2x}\, \, |\times 2x$

$x\times 2x=5x+3$

${2x}^{2}=5x+3$

${2x}^{2}-5x-3=0$

$\Delta ={b}^{2}-4ac$

$\Delta ={(-5)}^{2}-4\times 2\times (-3)=25+24=49$

$\sqrt {\Delta }=\sqrt {49}=7$

${x}_{1}=\frac {-b-\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-(-5)-7} {2\times 2}=\frac {5-7} {4}=\frac {-2} {4}=-\frac {1} {2}$

${x}_{2}=\frac {-b+\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-(-5)+7} {2\times 2}=\frac {5+7} {4}=\frac {12} {4}=3$

$2x\neq 0\, |\div 2$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

$b)$

$x+1=\frac {2-2x} {x-1}\, \, |\times (x-1)$

$(x+1)\times (x-1)=2-2x$

${x}^{2}-1=2-2x$

${x}^{2}+2x-3=0$

$\Delta ={2}^{2}-4\times 1\times (-3)=4+12=16$

$\sqrt {\Delta }=\sqrt {16}=4$

${x}_{1}=\frac {-b-\sqrt {\Delta }} {2a}=\frac {-2-4} {2\times 1}=\frac {-6} {2}=-3$

LICEUM / TECHNIKUM

Równania wymierne

Temat: Równania wymierne.

Rozwiązywanie równania wymiernego: