Wariacje bez powtórzeń
Temat: Wariacje bez powtórzeń.
Wariacją k – wyrazową bez powtórzeń n – elementowego zbioru A (gdzie k, n należą do zbioru liczb naturalnych dodatnich i k ≤ n, nazywamy każdy k – wyrazowy ciąg różnych elementów zbioru A.
Każda n – elementowa wariacja bez powtórzeń zbioru n – elementowego jest permutacją.
Liczbę wariacji bez powtórzeń można obliczyć wykorzystując regułę mnożenia lub poniższy wzór:
Zadanie 1
Na ile sposobów 10 – osobowa klasa może wybrać samorząd klasowy (składający się z trzech różnych osób) który składać się będzie z: przewodniczącego klasy, wiceprzewodniczącego klasy i skarbnika.
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
Na stanowisko przewodniczącego klasy może zostać wybrana jedna z dziesięciu osób.
Na stanowisko wiceprzewodniczącego klasy może zostać wybrana jedna z dziewięciu osób ( bo jedna osoba została już wybrana na przewodniczącego).
Na skarbnika klasowego można wybrać jedną z ośmiu pozostałych osób.
Odpowiedź: Dziesięcioosobowa klasa może wybrać trzyosobowy samorząd na 720 sposobów.
Zadanie 2
Na ile sposobów cztery osoby mogą wsiąść do pociągu składającego się z siedmiu wagonów, jeśli każda z osób ma zająć miejsce w innym wagonie?
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
Pierwsza osoba może wsiąść do jednego z siedmiu wagonów – ma siedem możliwości wyboru.
Druga osoba może wsiąść do jednego z sześciu wagonów – bo jeden jest już zajęty – w związku z tym ma sześć możliwości wyboru.
Trzecia osoba może wsiąść do jednego z pięciu wagonów.
Czwarta osoba może wsiąść do jednego z czterech wagonów.
Odpowiedź: Cztery osoby mogą zająć miejsca w siedmiu wagonach na 840 sposobów.
Zadanie 3
Ile można utworzyć dziewięciocyfrowych numerów telefonicznych, w których żadna cyfra nie może się powtarzać i które nie będą zawierały cyfry zero.
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
Cyfry, z których można utworzyć numer to: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Łącznie dziewięć cyfr.
Na pierwsze miejsce możemy wybrać jedną z dziewięciu cyfr – mamy dziewięć możliwości wyboru.
Na drugie miejsce wybieramy jedną z ośmiu cyfr – jedną wybraliśmy i ustawiliśmy na miejscu pierwszym a cyfry nie mogą się powtarzać.
Na trzecie miejsce możemy wybrać jedną z siedmiu pozostałych cyfr – mamy siedem możliwości.
Na czwarte miejsce możemy wybrać jedną z sześciu pozostałych cyfr.
Na piąte miejsce możemy wybrać jedną z pięciu pozostałych cyfr.
Na szóste miejsce możemy wybrać jedną z czterech pozostałych cyfr.
Na siódme miejsce możemy wybrać jedną z trzech pozostałych cyfr.
Na ósme miejsce możemy wybrać jedną z dwóch pozostałych cyfr
Na dziewiąte miejsce możemy wybrać jedną – ostatnią pozostałą cyfrę.
Odpowiedź: Można utworzyć 362 880 numerów.
Zadanie 4
Ile różnych liczb czterocyfrowych nieparzystych, w których wszystkie cyfry są różne, można utworzyć z cyfr: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
Jeżeli mamy utworzyć liczby nieparzyste to na końcu tych liczb mogą stać jedynie cyfry: 1, 3, 5 i 7 (liczba jest nieparzysta jeśli na końcu tej liczby stoi cyfra nieparzysta). Mamy zatem do wyboru cztery cyfry.
W pierwszej kolejności wybierzemy cyfrę na ostatnie miejsce (czyli miejsce jedności), ponieważ nie będziemy jej wybierać z wszystkich dostępnych cyfr a jedynie z czterech nieparzystych (1, 3, 5, 7) aby został spełniony warunek o nieparzystości liczby.
Teraz w miejscu tysięcy możemy wybrać dowolną cyfrę ale wybieramy jedną z sześciu dostępnych, ponieważ jedną ustawiliśmy już na ostatnim miejscu.
Na miejscu setek (na drugim miejscu od lewej) wybieramy jedną z pięciu dostępnych cyfr.
Na miejscu dziesiątek (na trzecim miejscu od lewej) możemy wybrać jedną z czterech dostępnych cyfr.
Odpowiedź: Można utworzyć 480 liczb.
Zadanie 5
W loterii fantowej wzięło udział 100 uczniów. Każdy z nich kupił jeden los. Nagrodą za zajęcie I miejsca jest rower, za zajęcie II miejsca – hulajnoga a za zajęcie II miejsca – piłka do siatkówki. Na ile sposobów uczniowie mogą wylosować nagrody.
ROZWIĄZANIE:
WSKAZÓWKI:
Pierwszą nagrodę (za zajęcie I miejsca) może wylosować jeden ze 100 uczniów.
Drugą nagrodę może wylosować jeden z 99 uczniów (bo jeden uczeń wylosował już I nagrodę).
Trzecią nagrodę może wylosować jeden z 98 uczniów.
Odpowiedź: Uczniowie mogą wylosować nagrody na 970 200 sposobów.
Course Features
- Lectures 0
- Quizzes 0
- Duration 50 hours
- Skill level All levels
- Language English
- Students 0
- Assessments Yes
