Mnożenie sum algebraicznych

Teacher

Żaneta Szczyglak

Temat: Mnożenie sum algebraicznych.

Mnożenie sum algebraicznych przez jednomian

Jeśli mnożymy sumę algebraiczną przez dany jednomian, musimy każdy wyraz sumy pomnożyć przez ten jednomian.

PAN PROFESOR PRZYPOMINA:

JEDNOMIAN – wyrażenie algebraiczne, które może być pojedynczą liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter, np.

$5,\, -7,\, a,\, 3xyz,\, {2a}^{2}b$

SUMA ALGEBRAICZNA – suma jednomianów, np.

$x+2y,\, \, a+{b}^{2},\, x+xy-7$

Zadanie 1

Oblicz:

$a)\, 2(3x+5)$

$b)\, 4(-6+3y)$

$c)\, -3(2y-7)$

$d)\, -5(-2x-4y)$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$2(3x+5)=6x+10$

$b)$

$4(-6+3y)=-24+12y$

$c)$

$-3(2y-7)=-6y+21$

$d)$

$-5(-2x-4y)=10x+20y$

WSKAZÓWKI:

Mnożąc sumy algebraiczne przez liczby należy każdy wyraz z nawiasu pomnożyć przez liczbę stojącą przed (bądź za) nawiasem.

Ważne jest również aby pamiętać o znakach znajdujących się bezpośrednio przed jednomianami ( w wyniku mnożenia dwóch wyrażeń ujemnych otrzymamy wynik dodatni ale mnożąc wyraz ujemny przez dodatni dostaniemy wynik ujemny!).

Zadanie 2

Wykonaj mnożenie.

$a)\, (x-3y)\times 4$

$b)\, (8+2x)\times (-3)$

$c)\, (-x-12)\times (-5)$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$(x-3y)\times 4=4x-12y$

$b)$

$(8+2x)\times (-3)=-24-6x$

$c)$

$(-x-12)\times (-5)=5x+60$

Zadanie 3

Oblicz iloczyn.

$a)\, -2(x+2y-3z)$

$b)\, (5x-2+7y)\times 4$

$c)\, -3(-4x+6y+12)$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$-2(x+2y-3z)=-2x-4y+6z$

$b)$

$(5x-2+7y)\times 4=20x-8+28y$

$c)$

$-3(-4x+6y+12)=12x-18y-36$

Zadanie 4

Wykonaj mnożenie.

$a)\, \frac {1} {2}(3{x}^{2}-2x+\frac {2} {3})$

$b)\, -\frac {3} {4}(\frac {2} {3}{x}^{2}-\frac {8} {3}x+2)$

$c)\, -2\sqrt {2}({x}^{3}+\sqrt {2}x-2)$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\frac {1} {2}(3{x}^{2}-2x+\frac {2} {3})={\frac {3} {2}x}^{2}-x+\frac {2} {6}={\frac {3} {2}x}^{2}-x+\frac {1} {3}$

$b)$

$-\frac {3} {4}(\frac {2} {3}{x}^{2}-\frac {8} {3}x+2)=-\frac {6} {12}{x}^{2}+\frac {24} {12}x-\frac {6} {4}=-\frac {1} {2}{x}^{2}+2x-\frac {3} {2}$

$c)$

$-2\sqrt {2}({x}^{3}+\sqrt {2}x-2)=-2\sqrt {2}{x}^{3}-2\sqrt {4}x+4\sqrt {2}=-2\sqrt {2}{x}^{3}-4x+4\sqrt {2}$

Zadanie 5

Wyznacz iloczyn.

$a)\, x(x+2)$

$b)\, 2y(\frac {1} {2}+2y)$

$c)\, \frac {3} {2}x(2x-\frac {1} {3})$

$d)\, {y}^{2}(\frac {3} {4}-\frac {1} {2}y)$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$x(x+2)=x\times x+x\times 2={x}^{2}+2x$

$b)$

$2y(\frac {1} {2}+2y)=2y\times \frac {1} {2}+2y\times 2y=y+4{y}^{2}$

$c)$

$\frac {3} {2}x(2x-\frac {1} {3})=\frac {3} {2}x\times 2x+\frac {3} {2}x\times (-\frac {1} {3})=3{x}^{2}-\frac {1} {2}x$

$d)$

${y}^{2}(\frac {3} {4}-\frac {1} {2}y)={y}^{2}\times \frac {3} {4}+{y}^{2}\times (-\frac {1} {2}y)={\frac {3} {4}y}^{2}-\frac {1} {2}{y}^{3}$

WSKAZÓWKI:

Mnożąc sumę algebraiczną przez jednomian należy każdy wyraz sumy pomnożyć przez ten jednomian zwracając szczególną uwagę na znaki stojące tuż przed poszczególnymi wyrazami.

UWAGA: Jeśli masz problemy z mnożeniem potęg przypomnij sobie zasady dotyczące mnożenia potęg o tych samych podstawach, które znajdziesz TUTAJ

Zadanie 6

Wykonaj mnożenie.

$a)\, -{x}^{2}({x}^{2}-{x}^{3}+2x-1)$

$b)\, 2a({3a}^{2}-ab+{b}^{4})$

$c)\, -3{x}^{2}y({x}^{3}y-xy+2x{y}^{2})$

$d)\, -2{a}^{2}{b}^{3}(-{a}^{2}+a-ab+{b}^{3}-b)$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$-{x}^{2}({x}^{2}-{x}^{3}+2x-1)={-x}^{2}\times {x}^{2}+(-{x}^{2})\times (-{x}^{3})+(-{x}^{2})\times 2x+$

$+({-x}^{2})\times (-1)=-{x}^{4}+{x}^{5}-2{x}^{3}+{x}^{2}$

$b)$

$2a({3a}^{2}-ab+{b}^{4})=2a\times {3a}^{2}+2a\times (-ab)+2a\times {b}^{4}=6{a}^{3}-2{a}^{2}b+2a{b}^{4}$

$c)$

$-3{x}^{2}y({x}^{3}y-xy+2x{y}^{2})=-{3x}^{2}y\times {x}^{3}y+(-{3x}^{2}y)\times (-xy)+$

$+(-{3x}^{2}y)\times 2x{y}^{2}=-3{x}^{5}{y}^{2}+3{x}^{3}{y}^{2}-6{x}^{3}{y}^{3}$

$d)$

$-2{a}^{2}{b}^{3}(-{a}^{2}+a-ab+{b}^{3}-b)=-2{a}^{2}{b}^{3}\times (-{a}^{2})+(-2{a}^{2}{b}^{3})\times a+$

$+(-{2a}^{2}{b}^{3})\times (-ab)+(-{2a}^{2}{b}^{3})\times {b}^{3}+(-{2a}^{2}{b}^{3})\times (-b)=$

$={2a}^{4}{b}^{3}-{2a}^{3}{b}^{3}+{2a}^{3}{b}^{4}-{2a}^{2}{b}^{6}+{2a}^{2}{b}^{4}$

Mnożenie sum algebraicznych

Jeśli mnożymy dwie sumy algebraiczne, musimy każdy wyraz pierwszej sumy pomnożyć przez każdy wyraz drugiej sumy a następnie zredukować wyrazy podobne.

Zadanie 7

Wyznacz iloczyn.

$a)\, (x+1)(x-2)$

$b)\, (2-a)(3b+6)$

$c)\, (2x-y)(3y+5x)$

$d)(x-3)(x-5)$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$(x+1)(x-2)=x\times x+x\times (-2)+1\times x+1\times (-2)={x}^{2}-2x+x-2={x}^{2}-x-2$

$b)$

$(2-a)(3b+6)=2\times 3b+2\times 6+(-a)\times 3b+(-a)\times 6=6b+12-3ab-6a$

$c)$

$(2x-y)(3y+5x)=2x\times 3y+2x\times 5x+(-y)\times 3y+(-y)\times 5x=$

$=6xy+10{x}^{2}-{3y}^{2}-5xy={10x}^{2}-{3y}^{2}+xy$

$d)$

$(x-3)(x-5)=x\times x+x\times (-5)+(-3)\times x+(-3)\times (-5)=$

$={x}^{2}-5x-3x+15={x}^{2}-8x+15$

Zadanie 8

Wyznacz iloczyn.

$a)\, ({x}^{2}+2)(4{x}^{2}-2x)$

$b)\, (x+\frac {1} {2}{y}^{2})({x}^{3}+2y)$

$c)\, (2\sqrt {2}x-3)(\sqrt {2}x+\frac {1} {2})$

$d)\, ({\frac {2} {3}x}^{2}-\frac {3} {2}x)(6x+3)$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$({x}^{2}+2)(4{x}^{2}-2x)={x}^{2}\times 4{x}^{2}+{x}^{2}\times (-2x)+2\times {4x}^{2}+2\times (-2x)=$

$=4{x}^{4}-2{x}^{3}+8{x}^{2}-4x$

$b)\,$

$(x+\frac {1} {2}{y}^{2})({x}^{3}+2y)=x\times {x}^{3}+x\times 2y+\frac {1} {2}{y}^{2}\times {x}^{3}+\frac {1} {2}{y}^{2}\times 2y=$

$={x}^{4}+2xy+\frac {1} {2}{x}^{3}{y}^{2}+{y}^{3}$

$c)$

$(2\sqrt {2}x-3)(\sqrt {2}x+\frac {1} {2})=2\sqrt {2}x\times \sqrt {2}x+2\sqrt {2}x\times \frac {1} {2}+(-3)\times \sqrt {2}x+(-3)\times \frac {1} {2}=$

$=2\sqrt {4}{x}^{2}+\sqrt {2}x-3\sqrt {2}x-\frac {3} {2}=4{x}^{2}-2\sqrt {2}x-\frac {3} {2}$

$d)$

$({\frac {2} {3}x}^{2}-\frac {3} {2}x)(6x+3)={\frac {2} {3}x}^{2}\times 6x+{\frac {2} {3}x}^{2}\times 3+(-\frac {3} {2}x)\times 6x+(-\frac {3} {2}x)\times 3=$

$=4{x}^{3}+{2x}^{2}-9{x}^{2}-\frac {9} {2}x={4x}^{3}-{7x}^{2}-\frac {9} {2}x$

Zadanie 9

Wykonaj mnożenie.

$a)\, ({x}^{2}+x-1)(x-{x}^{2}+1)$

$b)\, ({x}^{2}-2x+3)({2x}^{2}+3x-4)$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$({x}^{2}+x-1)(x-{x}^{2}+1)={x}^{2}\times x+{x}^{2}\times (-{x}^{2})+{x}^{2}\times 1+$

$x\times x+x\times (-{x}^{2})+x\times 1+(-1)\times x+(-1)\times (-{x}^{2})+(-1)\times 1=$

$={x}^{3}-{x}^{4}+{x}^{2}+{x}^{2}-{x}^{3}+x-x+{x}^{2}-1=-{x}^{4}+3{x}^{2}-1$

$b)$

$({x}^{2}-2x+3)({2x}^{2}+3x-4)=\, {x}^{2}\times {2x}^{2}+{x}^{2}\times 3x+{x}^{2}\times (-4)+$

$+(-2x)\times {2x}^{2}+(-2x)\times 3x+(-2x)\times (-4)+3\times {2x}^{2}+3\times 3x+3\times (-4)=$

$=2{x}^{4}+3{x}^{3}-4{x}^{2}-4{x}^{3}-6{x}^{2}+8x+6{x}^{2}+9x-12=$

$={2x}^{4}-{x}^{3}-{4x}^{2}+17x-12$

Zadanie 10

Wykonaj mnożenie.

$a)\, (x-1)(x+2)(x-4)$

$b)\, (2x-4)(x+\frac {1} {2})(x-2)$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$(x-1)(x+2)(x-4)=[x\times x+x\times 2+(-1)\times x+(-1)\times 2]\times (x-4)=$

$=({x}^{2}+2x-x-2)(x-4)=({x}^{2}+x-2)(x-4)={x}^{3}-4{x}^{2}+{x}^{2}-4x-2x+8=$

$={x}^{3}-3{x}^{2}-6x+8$

$b)$

$(2x-4)(x+\frac {1} {2})(x-2)=[2x\times x+2x\times \frac {1} {2}+(-4)\times x+(-4)\times (-2)]\times (x-2)=$

$={(2x}^{2}+x-4x+8)(x-2)=({2x}^{2}-3x+8)(x-2)=$

$={2x}^{3}-4{x}^{2}-3{x}^{2}+6x+8x-16={2x}^{3}-7{x}^{2}+14x-16$

WSKAZÓWKI:

Gdy mamy pomnożyć przez siebie trzy nawiasy, możemy to zrobić stopniowo, tzn. najpierw mnożymy przez siebie pierwszy i drugi nawias a otrzymany iloczyn mnożymy przez trzeci nawias.

Course Features

Lectures 0
Quizzes 0
Duration 50 hours
Skill level All levels
Language English
Students 0
Assessments Yes

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Students

Free

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Students

Free

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Wzory skróconego mnożenia

Students

Free

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Wartość liczbowa wyrażeń algebraicznych

Students

Free

LICEUM / TECHNIKUM

Mnożenie sum algebraicznych

Temat: Mnożenie sum algebraicznych.