Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych

Teacher

Temat: Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych.

Skracanie wyrażeń wymiernych.

Skracanie (upraszczanie) wyrażenia wymiernego polega na podzieleniu jego licznika i mianownika przez to samo wyrażenie (które musi być różne od zera i musi być ich wspólnym dzielnikiem). Zanim jednak skrócimy wyrażenie wymierne należy wyznaczyć jego dziedzinę. Kiedy dziedzina wyrażenia jest określona wtedy możemy przystąpić do rozłożenia licznika i mianownika tego wyrażenia na czynniki (przedstawić wielomiany – o ile to możliwe – w postaci iloczynowej) a następnie skreślić czynniki, które występują zarówno w liczniku jak i mianowniku tego wyrażenia (skreślamy jednakowe czynniki).

UWAGA: Nie każde wyrażenie wymierne można skrócić.

Zadanie 1

Skróć ułamki. Podaj konieczne założenia.

$a)\, \frac {25} {5{x}^{2}}$

$b)\, \frac {{4x}^{3}} {{16x}^{2}}$

$c)\, \frac {{3x}^{6}} {{6x}^{8}}$

$d)\, \frac {5{(-x)}^{7}} {{x}^{4}}$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\frac {25} {5{x}^{2}}=\frac {25\div 5} {{5x}^{2}\div 5}=\frac {5} {{x}^{2}}$

${5x}^{2}\neq 0\, \, |\div 5$

${x}^{2}\neq 0$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

WSKAZÓWKI:

${5x}^{2}\neq 0\, \, |\div 5$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

1. Wyznacz dziedzinę wyrażenia (robimy to po to aby upewnić się, że nie dzielimy przez zero gdyż jest to działanie niedozwolone).

$\frac {25} {5{x}^{2}}=\frac {25\div 5} {{5x}^{2}\div 5}=\frac {5} {{x}^{2}}$

2. Określ wspólny dzielnik dla licznika i mianownika tego ułamka i wykonaj dzielenie.(działania można rozpisać jak w powyższym przykładzie lub wykonać je w pamięci i zapisać wynik dzielenia).

$b)$

$\frac {{4x}^{3}} {{16x}^{2}}=\frac {4{x}^{3}\div {4x}^{2}} {16{x}^{2}\div {4x}^{2}}=\frac {x} {4}$

$16{x}^{2}\neq 0\, \, |\div 16$

${x}^{2}\neq 0$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

$c)$

$\frac {{3x}^{6}} {{6x}^{8}}=\frac {{3x}^{6}\div 3{x}^{6}} {{6x}^{8}\div 3{x}^{6}}=\frac {1} {2{x}^{2}}$

${6x}^{8}\neq 0\, \, |\div 6$

${x}^{8}\neq 0$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

$d)$

$\frac {5{(-x)}^{7}} {{x}^{4}}=\frac {-5{x}^{7}\div {x}^{4}} {{x}^{4}\div {x}^{4}}=\frac {-5{x}^{3}} {1}=-5{x}^{3}$

${x}^{4}\neq 0$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

Zadanie 2

Skróć ułamki. Podaj konieczne założenia.

$a)\, \frac {8{x}^{2}-4{x}^{2}} {{16x}^{2}}$

$b)\, \frac {{3(-x)}^{3}+{9x}^{3}} {{12x}^{2}}$

$c)\, \frac {{({x}^{3})}^{4}-5{{(x}^{4})}^{3}} {2{x}^{7}}$

$d)\, \frac {{(-2x)}^{3}-{3(-x)}^{3}} {({5x)}^{2}}$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\frac {8{x}^{2}-4{x}^{2}} {{16x}^{2}}=\frac {4{x}^{2}} {16{x}^{2}}=\frac {{4x}^{2}\div {4x}^{2}} {{16x}^{2}\div {4x}^{2}}=\frac {1} {4}$

${16x}^{2}\neq 0\, \, |\div 16$

${x}^{2}\neq 0$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

WSKAZÓWKI:

${16x}^{2}\neq 0\, \, |\div 16$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

1. Wyznacz dziedzinę wyrażenia.

$\frac {8{x}^{2}-4{x}^{2}} {{16x}^{2}}=\frac {4{x}^{2}} {16{x}^{2}}$

2. Wykonaj działanie w liczniku ułamka (pamiętaj, że dodając bądź odejmując wyrazy podobne, działania wykonujemy na liczbach, litery przepisujemy bez zmian).

$\frac {4{x}^{2}} {16{x}^{2}}=\frac {{4x}^{2}\div {4x}^{2}} {{16x}^{2}\div {4x}^{2}}=\frac {1} {4}$

3. Określ wspólny dzielnik i wykonaj dzielenie licznika i mianownika.

$b)$

$\frac {{3(-x)}^{3}+{9x}^{3}} {{12x}^{2}}=\frac {-{3x}^{3}+{9x}^{3}} {12{x}^{2}}=\frac {6{x}^{3}} {12{x}^{2}}=\frac {{6x}^{3}\div {6x}^{2}} {{12x}^{2}\div 6{x}^{2}}=\frac {x} {2}$

${12x}^{2}\neq 0\, \, |\div 12$

${x}^{2}\neq 0$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

$c)$

$\frac {{({x}^{3})}^{4}-5{{(x}^{4})}^{3}} {2{x}^{7}}=\frac {{x}^{12}-5{x}^{12}} {{2x}^{7}}=\frac {-4{x}^{12}} {{2x}^{7}}=\frac {{-4x}^{12}\div 2{x}^{7}} {{2x}^{7}\div 2{x}^{7}}=\frac {-2{x}^{5}} {1}=-2{x}^{5}$

${2x}^{7}\neq 0\, \, |\div 2$

${x}^{7}\neq 0$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

$d)$

$\frac {{(-2x)}^{3}-{3(-x)}^{3}} {({5x)}^{2}}=\frac {-8{x}^{3}+3{x}^{3}} {25{x}^{2}}=\frac {-5{x}^{3}} {25{x}^{2}}=\frac {-5{x}^{3}\div 5{x}^{2}} {25{x}^{2}\div {5x}^{2}}=\frac {-x} {5}$

${(5x)}^{2}\neq 0$

$25{x}^{2}\neq 0\, \, |\div 25$

${x}^{2}\neq 0$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

Zadanie 3

Skróć ułamki. Podaj konieczne założenia.

$a)\, \frac {{x}^{2}+3x} {{x}^{2}+4x}$

$b)\, \frac {{x}^{3}+2x} {{x}^{2}+6x}$

$c)\, \frac {8x+20} {4x+16}$

$d)\, \frac {4{x}^{2}-8x} {{6x}^{2}-8x}$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\frac {{x}^{2}+3x} {{x}^{2}+4x}=\frac {x\times (x+3)} {x\times (x+4)}=\frac {[x\times (x+3)]\div x} {[x\times (x+4)]\div x}=\frac {x+3} {x+4}$

${x}^{2}+4x\neq 0$

$x(x+4)\neq 0$

$x\neq 0\, \, \, \, \, \, x+4\neq 0$

$x\neq 0\, \, \, \, \, \, x\neq -4$

$D:\, R\backslash \{ -4,\, 0\}$

WSKAZÓWKI:

${x}^{2}+4x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ -4,\, 0\}$

1. Określ dziedzinę wyrażenia.

$\frac {{x}^{2}+3x} {{x}^{2}+4x}=\frac {x\times (x+3)} {x\times (x+4)}$

2. Rozłóż na czynniki zarówno licznik jak i mianownik wyrażenia (przedstaw w postaci iloczynowej).Pamiętaj że nie wolno skracać (upraszczać) ułamków jeśli w liczniku i mianownika jest suma (najpierw doprowadzamy do postaci iloczynowej).

W tym przypadku można wyciągnąć przed nawias część wspólną licznika i mianownika.

$\frac {[x\times (x+3)]\div x} {[x\times (x+4)]\div x}=\frac {x+3} {x+4}$

3. Dzielimy licznik i mianownik ułamka przez ich wspólny czynnik (skreślamy jednakowe czynniki).

$b)$

$\frac {{x}^{3}+2x} {{x}^{2}+6x}=\frac {x({x}^{2}+2)} {x(x+6)}=\frac {[x\times ({x}^{2}+2)]\div x} {[x\times (x+6)]\div x}=\frac {{x}^{2}+2} {x+6}$

${x}^{2}+6x\neq 0$

$x(x+6)\neq 0$

$x\neq 0\, \, \, \, \, \, x+6\neq 0$

$x\neq 0\, \, \, \, \, \, x\neq -6$

$D:\, R\backslash \{ -6,\, 0\}$

$c)$

$\frac {8x+20} {4x+16}=\frac {4(2x+5)} {4(x+4)}=\frac {[4\times (2x+5)]\div 4} {[4\times (x+4)]\div 4}=\frac {2x+5} {x+4}$

$4x+16\neq 0$

$4x\neq -16\, \, |\div 4$

$x\neq -4$

$D:\, R\backslash \{ -4\}$

$d)$

$\frac {4{x}^{2}-8x} {{6x}^{2}-8x}=\frac {2x(2x-4)} {2x(3x-4)}=\frac {[2x\times (2x-4)]\div 2x} {[2x\times (3x-4)]\div 2x}=\frac {2x-4} {3x-4}$

${6x}^{2}-8x\neq 0$

$2x(3x-4)\neq 0$

$2x\neq 0\, \, \, \, \, \, 3x-4\neq 0$

$2x\neq 0\, \, |\div 2\, \, \, \, \, \, 3x\neq 4\, \, |\div 3$

$x\neq 0\, \, \, \, \, \, x\neq \frac {4} {3}$

$D:\, R\backslash \{ 0,\, \frac {4} {3}\}$

Zadanie 4

Skróć ułamki. Podaj konieczne założenia.

$a)\, \frac {(x+2)(x-3)} {(x-3)(x-2)}$

$b)\, \frac {3(x-5)(x-6)} {2(x+5)(x-6)}$

$c)\, \frac {(x-3)(x-5)} {(3-x)(x+5)}$

$d)\, \frac {(x-1)(x-2)} {(1-x)(x+2)}$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\frac {(x+2)(x-3)} {(x-3)(x-2)}=\frac {[(x+2)(x-3)]\div (x-3)} {[(x-3)(x-2)]\div (x-3)}=\frac {(x+2)} {(x-2)}$

$(x-3)(x-2)\neq 0$

$x-3\neq 0\, \, \, \, \, \, x-2\neq 0$

$x\neq 3\, \, \, \, \, \, x\neq 2$

$D:\, R\backslash \{ 2,\, 3\}$

WSKAZÓWKI:

$D:\, R\backslash \{ 2,\, 3\}$

1. Wyznaczamy dziedzinę.

$\frac {(x+2)(x-3)} {(x-3)(x-2)}=\frac {[(x+2)(x-3)]\div (x-3)} {[(x-3)(x-2)]\div (x-3)}$

2. Określamy wspólny dzielnik a następnie dzielimy przez niego licznik i mianownik ułamka.

$\frac {(x+2)(x-3)\div (x-3)} {(x-3)(x-2)\div (x-3)}=\frac {(x+2)} {(x-2)}$

3. Zapisujemy wynik dzielenia.

$b)$

$\frac {3(x-5)(x-6)} {2(x+5)(x-6)}=\frac {[3(x-5)(x-6)]\div (x-6)} {[2(x+5)(x-6)]\div (x-6)}=\frac {3(x-5)} {2(x+5)}$

$2(x+5)(x-6)\neq 0$

$x+5\neq 0\, \, \, \, \, \, x-6\neq 0$

$x\neq -5\, \, \, \, \, \, x\neq 6$

$D:\, R\backslash \{ -5,\, 6\}$

$c)$

$\frac {(x-3)(x-5)} {(3-x)(x+5)}=\frac {(-3+x)(x-5)} {(3-x)(x+5)}=\frac {-(3-x)(x-5)} {(3-x)(x+5)}=$

$=\frac {[-(3-x)(x-5)]\div (3-x)} {[(3-x)(x+5)]\div (3-x)}=\frac {-(x-5)} {x+5}=\frac {-x+5} {x+5}$

$(3-x)(x+5)\neq 0$

$3-x\neq 0\, \, \, \, \, \, x+5\neq 0$

$x\neq 3\, \, \, \, \, \, x\neq -5$

$D:\, R\backslash \{ -5,\, 3\}$

$d)$

$\frac {(x-1)(x-2)} {(1-x)(x+2)}=\frac {(x-1)(x-2)} {(-x+1)(x+2)}=\frac {(x-1)(x-2)} {-(x-1)(x+2)}=$

$=\frac {[(x-1)(x-2)]\div (x-1)} {[-(x-1)(x+2)]\div (x-1)}=\frac {x-2} {-(x+2)}=\frac {x-2} {-x-2}$

$(1-x)(x+2)\neq 0$

$1-x\neq 0\, \, \, \, \, \, x+2\neq 0$

$x\neq 1\, \, \, \, \, \, x\neq -2$

$D:\, R\backslash \{ -2,\, 1\}$

Zadanie 5

Skróć ułamki. Podaj konieczne założenia.

$a)\, \frac {{x}^{2}-4} {3x+6}$

$b)\, \frac {25-{x}^{2}} {5+x}$

$c)\, \frac {9{x}^{2}-16} {4-3x}$

$d)\, \frac {4-{64x}^{2}} {-8x-2}$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\frac {{x}^{2}-4} {3x+6}=\frac {[(x+2)(x-2)]\div (x+2)} {[3(x+2)]\div (x+2)}=\frac {x-2} {3}$

$3x+6\neq 0$

$3x\neq -6\, \, |\div 3$

$x\neq -2$

$D:\, R\backslash \{ -2\}$

WSKAZÓWKI:

$3x+6\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ -2\}$

1. Wyznacz dziedzinę.

$\frac {{x}^{2}-4} {3x+6}=\frac {(x+2)(x-2)} {3(x+2)}$

2. Przedstaw licznik i mianownik w postaci iloczynowej; przekształcając licznik tego ułamka skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia, w mianowniku wyciągnij wspólny czynnik przed nawias.

$\frac {[(x+2)(x-2)]\div (x+2)} {[3(x+2)]\div (x+2)}=\frac {x-2} {3}$

3. Skróć (skreśl) jednakowe czynniki (lub inaczej – podziel licznik i mianownik przez to samo wyrażenie).

$b)$

$\frac {25-{x}^{2}} {5+x}=\frac {[(5+x)(5-x)]\div (5+x)} {(5+x)\div (5+x)}=\frac {5-x} {1}=5-x$

$5+x\neq 0$

$x\neq -5$

$D:\, R\backslash \left \{ {-5} \right \}$

$c)$

$\frac {9{x}^{2}-16} {4-3x}=\frac {(3x+4)(3x-4)} {4-3x}=\frac {(-4+3x)(3x+4)} {4-3x}=\frac {-(4-3x)(3x+4)} {4-3x}=$

$=\frac {[-(4-3x)(3x+4)]\div (4-3x)} {(4-3x)\div (4-3x)}=\frac {-(3x+4)} {1}=-3x-4$

$4-3x\neq 0$

$3x\neq 4\, \, |\div 3$

$x\neq \frac {4} {3}$

$D:\, R\backslash \{ \frac {4} {3}\}$

WSKAZÓWKI:

$4-3x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ \frac {4} {3}\}$

1. Wyznacz dziedzinę.

$\frac {9{x}^{2}-16} {4-3x}=\frac {(3x+4)(3x-4)} {4-3x}$

2. Przedstaw licznik ułamka w postaci iloczynowej.

$\frac {(3x+4)(3x-4)} {4-3x}=\frac {(3x-4)(3x+4)} {4-3x}=\frac {(-4+3x)(3x+4)} {4-3x}$

$\frac {(-4+3x)(3x+4)} {4-3x}=\frac {-(4-3x)(3x+4)} {4-3x}$

3. W zapisie ułamka należy wprowadzić pewne modyfikacje aby móc uprościć (skrócić) dany ułamek. W pierwszej kolejności należy zmienić kolejność zapisu nawiasów w liczniku ułamka oraz kolejność zapisu sumy w nawiasie (korzystając z prawa przemienności mnożenia i prawa przemienności dodawania) a następnie zmieniamy znaki w nawiasie na przeciwne tak aby uzyskać wyrażenie identyczne jak w mianowniku ułamka. Musimy jednak przed nawiasem umieścić minus, ponieważ naszym celem jest zmiana zapisu wyrażenia bez zmiany jego wartości.

$\frac {[-(4-3x)(3x+4)]\div (4-3x)} {(4-3x)\div (4-3x)}=\frac {-(3x+4)} {1}$

4. Podziel licznik i mianownik przez ten sam czynnik; skróć (skreśl) jednakowe czynniki (nie zapomnij o minusie znajdującym się przed pierwszym nawiasem).

$\frac {-(3x+4)} {1}=-3x-4$

5. Przedstaw wynik w najprostszej postaci. Pamiętaj, że minus przed nawiasem zmienia znaki w nawiasie na przeciwne.

$d)$

$\frac {4-{64x}^{2}} {-8x-2}=\frac {(2+8x)(2-8x)} {-8x-2}=\frac {(8x+2)(2-8x)} {-8x-2}=\frac {-(-8x-2)(2-8x)} {-8x-2}=$

$=\frac {[-(-8x-2)(2-8x)]\div (-8x-2)} {(-8x-2)\div (-8x-2)}=\frac {-(2-8x)} {1}=-2+8x$

$-8x-2\neq 0$

$-8x\neq 2\, \, |\div (-8)$

$x\neq -\frac {2} {8}$

$x\neq -\frac {1} {4}$

$D:\, R\backslash \{ -\frac {1} {4}\}$

Zadanie 6

Skróć ułamki. Podaj konieczne założenia.

$a)\, \frac {{x}^{2}+6x+9} {{x}^{2}-9}$

$b)\, \frac {{4x}^{2}-25} {{4x}^{2}+20x+25}$

$c)\, \frac {{4x}^{2}-100} {{x}^{2}-10x+25}$

$d)\, \frac {{9x}^{2}+30x+25} {{18x}^{2}-50}$

ROZWIAZANIE:

$a)$

$\frac {{x}^{2}+6x+9} {{x}^{2}-9}=\frac {{(x+3)}^{2}} {(x+3)(x-3)}=\frac {[(x+3)(x+3)]\div (x+3)} {[(x+3)(x-3)]\div (x+3)}=\frac {x+3} {x-3}$

${x}^{2}-9\neq 0$

${x}^{2}\neq 9$

$x\neq 3\, \, \, \, \, \, x\neq -3$

$D:\, R\backslash \{ -3,\, 3\}$

WSKAZÓWKI:

${x}^{2}-9\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ -3,\, 3\}$

1. Wyznacz dziedzinę wyrażenia.

$\frac {{x}^{2}+6x+9} {{x}^{2}-9}=\frac {{(x+3)}^{2}} {(x+3)(x-3)}=\frac {(x+3)(x+3)} {(x+3)(x-3)}$

2. Przedstaw licznik i mianownik ułamka w postaci iloczynowej. Przekształcając wyrażenia skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia.

$\frac {[(x+3)(x+3)]\div (x+3)} {[(x+3)(x-3)]\div (x+3)}=\frac {x+3} {x-3}$

3. Podziel licznik i mianownik przez wspólny czynnik; skróć (skreśl) jednakowe czynniki.

$b)$

$\frac {{4x}^{2}-25} {{4x}^{2}+20x+25}=\frac {(2x+5)(2x-5)} {{(2x+5)}^{2}}=\frac {(2x+5)(2x-5)} {(2x+5)(2x+5)}=\frac {2x-5} {2x+5}$

${4x}^{2}+20x+25\neq 0$

${(2x+5)}^{2}\neq 0$

$2x+5\neq 0$

$2x\neq -5\, \, |\div 2$

$x\neq -\frac {5} {2}$

$D:\, R\backslash \{ -\frac {5} {2}\}$

$c)$

$\frac {{4x}^{2}-100} {{x}^{2}-10x+25}=\frac {(2x+10)(2x-10)} {{(x-5)}^{2}}=\frac {2(x+5)\times 2(x-5)} {(x-5)(x-5)}=$

$=\frac {4(x+5)} {x-5}=\frac {4x+20} {x-5}$

${x}^{2}-10x+25\neq 0$

${(x-5)}^{2}\neq 0$

$x-5\neq 0$

$x\neq 5$

$D:\, R\backslash \{ 5\}$

$d)$

$\frac {{9x}^{2}+30x+25} {{18x}^{2}-50}=\frac {{(3x+5)}^{2}} {2({9x}^{2}-25)}=\frac {(3x+5)(3x+5)} {2(3x+5)(3x-5)}=\frac {3x+5} {2(3x-5)}=\frac {3x+5} {6x-10}$

${18x}^{2}-50\neq 0$

${18x}^{2}\neq 50\, \, |\div 18$

${x}^{2}\neq \frac {50} {18}$

${x}^{2}\neq \frac {50\div 2} {18\div 2}\neq \frac {25} {9}$

$x\neq \frac {5} {3}\, \, \, \, \, \, x\neq -\frac {5} {3}$

$D:\, R\backslash \{ -\frac {5} {3},\, \frac {5} {3}\}$

Rozszerzanie wyrażeń wymiernych.

Rozszerzanie wyrażenia wymiernego polega na pomnożeniu jego licznika i mianownika przez to samo wyrażenie (które musi być różne od zera). Rozszerzyć możemy każde wyrażenie wymierne.

Zadanie 7

Rozszerz dane ułamki tak aby otrzymać wyrażenia o podanych mianownikach. Podaj konieczne założenia.

$a)\, \frac {3x} {4}=\frac {\placeholder } {16x}$

$b)\, \frac {{3x}^{2}} {6}=\frac {\placeholder } {18}$

$c)\, \frac {-{2x}^{2}} {5}=\frac {\placeholder } {-10{x}^{5}}$

$d)\, \frac {7} {-8{x}^{3}}=\frac {\placeholder } {24{x}^{9}}$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\frac {3x} {4}=\frac {\placeholder } {16x}$

$16x\div 4=4x$

$\frac {3x} {4}=\frac {3x\times 4x} {4\times 4x}=\frac {12{x}^{2}} {16x}$

$16x\neq 0\, \, |\div 16$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

WSKAZÓWKI:

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

1. Wyznacz dziedzinę ułamka.

$4\times {\placeholder }^{\, }=16x$

$16x\div 4=4x$

2. Określ przez ile musisz pomnożyć dany ułamek aby otrzymać wyrażenie o podanym mianowniku.

Jeśli chcesz ułatwić sobie zadanie podziel mianownik ułamka rozszerzonego przez mianownik ułamka, który masz rozszerzyć. Dzięki temu otrzymasz liczbę przez którą należy rozszerzyć ułamek.

$\frac {3x} {4}=\frac {3x\times 4x} {4\times 4x}=\frac {12{x}^{2}} {16x}$

3. Rozszerz ułamek. Pamiętaj aby pomnożyć zarówno jego licznik jak i mianownik.

$b)$

$\frac {{3x}^{2}} {6}=\frac {\placeholder } {18}$

$18\div 6=3$

$\frac {{3x}^{2}} {6}=\frac {{3x}^{2}\times 3} {6\times 3}=\frac {{9x}^{2}} {18}$

$D:\, R$

$c)$

$\frac {-{2x}^{2}} {5}=\frac {\placeholder } {-10{x}^{5}}$

$-10{x}^{5}\div 5={-2x}^{5}$

$\frac {-2{x}^{2}} {5}=\frac {{-2x}^{2}\times ({-2x}^{5})} {5\times (-2{x}^{5})}=\frac {{4x}^{7}} {-10{x}^{5}}$

$-{10x}^{5}\neq 0\, \, |\div (-10)$

$-{x}^{5}\neq 0$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

$d)$

$\frac {7} {-8{x}^{3}}=\frac {\placeholder } {24{x}^{9}}$

$24{x}^{9}\div (-8{x}^{3})=-3{x}^{6}$

$\frac {7} {-8{x}^{3}}=\frac {7\times (-{3x}^{6})} {-{8x}^{3}\times (-{3x}^{6})}=\frac {-21{x}^{6}} {24{x}^{9}}$

${-8x}^{3}\neq 0\, \, |\div (-8)$

${x}^{3}\neq 0$

$x\neq 0$

${24x}^{9}\neq 0\, \, |\div 24$

${x}^{9}\neq 0$

$x\neq 0$

$D:\, R\backslash \{ 0\}$

Zadanie 8

Rozszerz dane ułamki tak aby otrzymać wyrażenia o podanych licznikach. Podaj konieczne założenia.

$a)\, \frac {2} {3x}=\frac {2{x}^{2}} {\placeholder }$

$b)\, \frac {-2{x}^{2}} {5}=\frac {8{x}^{5}} {\placeholder }$

$c)\, \frac {6} {x+2}=\frac {6x-12} {\placeholder }$

$d)\, \frac {{x}^{2}-3} {x}=\frac {{x}^{4}-9} {\placeholder }$

ROZWIĄZANIE:

$a)$

$\frac {2} {3x}=\frac {2{x}^{2}} {\placeholder }$

${2x}^{2}\div 2={x}^{2}$

$\frac {2} {3x}=\frac {2\times {x}^{2}} {3x\times {x}^{2}}=\frac {2{x}^{2}} {3{x}^{3}}$

$x\neq 0$

WSKAZÓWKI:

$x\neq 0$

1. Podaj konieczne założenia.

$2\times {\placeholder }^{\, }=2{x}^{2}$

${2x}^{2}\div 2={x}^{2}$

2. Określ przez ile musisz pomnożyć dany ułamek aby otrzymać wyrażenie o podanym liczniku.

Jeśli chcesz ułatwić sobie zadanie podziel licznik ułamka rozszerzonego przez licznik ułamka, który masz rozszerzyć. Dzięki temu otrzymasz liczbę przez którą należy rozszerzyć ułamek.

$\frac {2} {3x}=\frac {2\times {x}^{2}} {3x\times {x}^{2}}=\frac {2{x}^{2}} {3{x}^{3}}$

3. Rozszerz ułamek. Pamiętaj aby pomnożyć zarówno licznik jak i mianownik ułamka.

$b)$

$\frac {-2{x}^{2}} {5}=\frac {8{x}^{5}} {\placeholder }$

${8x}^{5}\div (-{2x}^{2})=-4{x}^{3}$

$\frac {-2{x}^{2}} {5}=\frac {{-2x}^{2}\times (-4{x}^{3})} {5\times (-4{x}^{3})}=\frac {8{x}^{5}} {-20{x}^{3}}$

$x\neq 0$

$c)$

$\frac {6} {x+2}=\frac {6x-12} {\placeholder }$

$(6x-12)\div 6=x-2$

LICEUM / TECHNIKUM

Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych

Temat: Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych.

Skracanie wyrażeń wymiernych.

Rozszerzanie wyrażeń wymiernych.