Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Teacher

Żaneta Szczyglak

Categories

LICEUM / TECHNIKUM, Liczby rzeczywiste, Pierwiastkowanie

Bezpłatne

Opis

Zadanie 1

Wykonaj mnożenie pierwiastków. Wynik zapisz w możliwie najprostszej postaci.

$a)\, \sqrt {2}\times \sqrt {18}$

$b)\, \sqrt {32}\times \sqrt {2}$

$c)\, \sqrt {5}\times \sqrt {45}$

$d)\, \sqrt {12}\times \sqrt {27}$

$e)\, \sqrt {6}\times \sqrt {24}$

$f)\, \sqrt {50}\times \sqrt {2}$

UWAGA: Pierwiastki można mnożyć i dzielić tylko wtedy gdy są tego samego stopnia.

ROZWIĄZANIE:

$a)\, \sqrt {2}\times \sqrt {18}=\sqrt {2\times 18}=\sqrt {36}=6$

$b)\, \sqrt {32}\times \sqrt {2}=\sqrt {32\times 2}\times =\sqrt {64}=8$

$c)\, \sqrt {5}\times \sqrt {45}=\sqrt {5\times 45}=\sqrt {225}=15$

$d)\, \sqrt {12}\times \sqrt {27}=\sqrt {12\times 27}=\sqrt {324}=18$

$e)\, \sqrt {6}\times \sqrt {24}=\sqrt {6\times 24}=\sqrt {144}=12$

$f)\, \sqrt {50}\times \sqrt {2}=\sqrt {50\times 2}=\sqrt {100}=10$

Zadanie 2

Wykonaj dzielenie pierwiastków. Wynik zapisz w możliwie najprostszej postaci.

$a)\, \sqrt {72}\div \sqrt {8}$

$b)\, \sqrt {125}\div \sqrt {5}$

$c)\, \sqrt {300}\div \sqrt {3}$

$d)\, \sqrt {80}\div \sqrt {5}$

$e)\, \sqrt {147}\div \sqrt {3}$

$f)\, \sqrt {242}\div \sqrt {2}$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, \sqrt {72}\div \sqrt {8}=\sqrt {72\div 8}=\sqrt {9}=3$

$b)\, \sqrt {125}\div \sqrt {5}=\sqrt {125\div 5}=\sqrt {25}=5$

$c)\, \sqrt {300}\div \sqrt {3}=\sqrt {300\div 3}=\sqrt {100}=10$

$d)\, \sqrt {80}\div \sqrt {5}=\sqrt {80\div 5}=\sqrt {16}=4$

$e)\, \sqrt {147}\div \sqrt {3}=\sqrt {147\div 3}=\sqrt {49}=7$

$f)\, \sqrt {242}\div \sqrt {2}=\sqrt {242\div 2}=\sqrt {121}=11$

Zadanie 3

Wykonaj obliczenia. Wynik zapisz w najprostszej postaci.

$a)\, 2\sqrt {3}\times \sqrt {18}$

$b)\, 3\sqrt {5}\times \sqrt {27}$

$c)\, 6\sqrt {2}\times \sqrt {12}$

$d)\, \sqrt {8}\times 4\sqrt {7}$

$e)\, \sqrt {45}\times 4\sqrt {2}$

$f)\, 5\sqrt {3}\times \sqrt {32}$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, 2\sqrt {3}\times \sqrt {18}=2\sqrt {3}\times \sqrt {9\times 2}=2\sqrt {3}\times 3\sqrt {2}=6\sqrt {6}$

WSKAZÓWKI:

$2\sqrt {3}\times \sqrt {18}=2\sqrt {3}\times \sqrt {9\times 2}$

1. Rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn dwóch liczb, z których jedna będzie kwadratem liczby naturalnej.

$2\sqrt {3}\times \sqrt {9\times 2}=2\sqrt {3}\times 3\sqrt {2}$

2. Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka.

$2\sqrt {3}\times 3\sqrt {2}=6\sqrt {6}$

3. Wykonaj mnożenie. Liczby stojące przed pierwiastkami wymnóż przez siebie a liczby podpierwiastkowe przez siebie.

UWAGA: Ten sam przykład możesz obliczyć w nieco inny sposób – co zaprezentowano poniżej:

$2\sqrt {3}\times \sqrt {18}=2\sqrt {54}=2\sqrt {9\times 6}=2\times 3\sqrt {6}=6\sqrt {6}$

$2\sqrt {3}\times \sqrt {18}=2\sqrt {54}$

1a. Pomnóż przez siebie pierwiastki. Liczbę stojącą przed pierwiastkiem przepisz bez zmian a liczby podpierwiastkowe pomnóż przez siebie.

$2\sqrt {54}=2\sqrt {9\times 6}$

2. Liczbę znajdującą się pod pierwiastkiem rozłóż na iloczyn dwóch liczb z których jedna będzie kwadratem liczby naturalnej ( z jednej z nich będzie można wyciągnąć pierwiastek)

$2\sqrt {9\times 6}=2\times 3\sqrt {6}=6\sqrt {6}$

3. Wyciągnij czynnik przed znak pierwiastka i pomnóż go przez liczbę stojącą przed znakiem pierwiastka tzn.w tym przypadku oblicz pierwiastek z liczby 9 co da nam 3 i pomnóż przez 2 stojącą przed pierwiastkiem a 6 zostaw pod pierwiastkiem, ponieważ nie da się obliczyć z niej pierwiastka.

Poniżej znajdują się oba sposoby obliczeń dla pozostałych przykładów:

$b)\, 3\sqrt {5}\times \sqrt {27}=3\sqrt {5}\times \sqrt {9\times 3}=3\sqrt {5}\times 3\sqrt {3}=9\sqrt {15}$

$3\sqrt {5}\times \sqrt {27}=3\sqrt {135}=3\sqrt {9\times 15}=3\times 3\sqrt {15}=9\sqrt {15}$

$c)\, 6\sqrt {2}\times \sqrt {12}=\, 6\sqrt {2}\times \sqrt {4\times 3}=6\sqrt {2}\times 2\sqrt {3}=12\sqrt {6}$

$6\sqrt {2}\times \sqrt {12}=\, 6\sqrt {24}=6\sqrt {4\times 6}=6\times 2\sqrt {6}=12\sqrt {6}$

$d)\, \sqrt {8}\times 4\sqrt {7}=\sqrt {4\times 2}\times 4\sqrt {7}=2\sqrt {2}\times 4\sqrt {7}=8\sqrt {14}$

$\sqrt {8}\times 4\sqrt {7}=4\sqrt {56}=4\sqrt {4\times 14}=4\times 2\sqrt {14}=8\sqrt {14}$

$e)\, \sqrt {45}\times 4\sqrt {2}=\sqrt {9\times 5}\times 4\sqrt {2}=3\sqrt {5}\times 4\sqrt {2}=12\sqrt {10}$

$\sqrt {45}\times 4\sqrt {2}=4\sqrt {90}=4\sqrt {9\times 10}=4\times 3\sqrt {10}=12\sqrt {10}$

$f)\, 5\sqrt {3}\times \sqrt {32}=5\sqrt {3}\times \sqrt {16\times 2}=5\sqrt {3}\times 4\sqrt {2}=20\sqrt {6}$

$5\sqrt {3}\times \sqrt {32}=5\sqrt {96}=5\sqrt {16\times 6}=5\times 4\sqrt {6}=20\sqrt {6}$

Zadanie 4

Oblicz. Wynik zapisz w możliwie najprostszej postaci.

$a)\, 12\sqrt {6}\div 3\sqrt {3}$

$b)\, 7\sqrt {15}\div \sqrt {5}$

$c)\, 5\sqrt {14}\div 5\sqrt {2}$

$d)\, 9\sqrt {12}\div 3\sqrt {6}$

$e)\, 6\sqrt {14}\div 8\sqrt {32}$

$f)\, 3\sqrt {24}\div 2\sqrt {8}$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, 12\sqrt {6}\div 3\sqrt {3}=4\sqrt {6\div 3}=4\sqrt {2}$

$b)\, 7\sqrt {15}\div \sqrt {5}=7\sqrt {15\div 5}=7\sqrt {3}$

$c)\, 5\sqrt {14}\div 5\sqrt {2}=\sqrt {14\div 2}=\sqrt {7}$

$d)\, 9\sqrt {12}\div 3\sqrt {6}=3\sqrt {12\div 6}=3\sqrt {2}$

$e)\, 6\sqrt {14}\div 8\sqrt {32}=\frac {6} {8}\sqrt {14\div 32}=\frac {3} {4}\sqrt {\frac {7} {16}}$

$f)\, 3\sqrt {24}\div 2\sqrt {8}=\frac {3} {2}\sqrt {24\div 8}=\frac {3} {2}\sqrt {3}$

Zadanie 5

Oblicz. Wynik podaj w możliwie najprostszej postaci.

$a)\, 2\sqrt {6}\times 3\sqrt {8}$

$b)\, 5\sqrt {5}\times 4\sqrt {12}$

$c)\, 3\sqrt {2}\times 6\sqrt {10}$

$d)\, 4\sqrt {3}\times 8\sqrt {6}$

$e)\, 10\sqrt {24}\times 2\sqrt {3}$

$f)\, 8\sqrt {2}\times 5\sqrt {20}$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, 2\sqrt {6}\times 3\sqrt {8}=6\sqrt {6\times 8}=6\sqrt {48}=6\sqrt {16\times 3}=24\sqrt {3}$

WSKAZÓWKI:

$2\sqrt {6}\times 3\sqrt {8}=2\times 3\sqrt {6\times 8}=6\sqrt {48}$

1. Wykonaj mnożenie: liczby stojące przed pierwiastkami pomnóż przez siebie a liczby podpierwiastkowe przez siebie.

$6\sqrt {48}=6\sqrt {16\times 3}$

2. Zauważ, że z liczby stojącej pod pierwiastkiem jest możliwość wyłączenia czynnika przed znak pierwiastka. Rozłóż więc liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn dwóch liczb, z których jedna będzie kwadratem liczby naturalnej.

$6\sqrt {16\times 3}=6\times 4\sqrt {3}=24\sqrt {3}$

3. Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka i wymnóż go przez liczbę stojącą przed pierwiastkiem.

$b)\, 5\sqrt {5}\times 4\sqrt {12}=20\sqrt {5\times 12}=20\sqrt {60}=20\sqrt {4\times 15}=40\sqrt {15}$

$c)\, 3\sqrt {2}\times 6\sqrt {10}=18\sqrt {2\times 10}=18\sqrt {20}=18\sqrt {4\times 5}=36\sqrt {5}$

$d)\, 4\sqrt {3}\times 8\sqrt {6}=32\sqrt {3\times 6}=32\sqrt {18}=32\sqrt {9\times 2}=96\sqrt {2}$

$e)\, 10\sqrt {24}\times 2\sqrt {3}=20\sqrt {24\times 3}=20\sqrt {72}=20\sqrt {36\times 2}=120\sqrt {2}$

$f)\, 8\sqrt {2}\times 5\sqrt {20}=40\sqrt {2\times 20}=40\sqrt {40}=40\sqrt {4\times 10}=80\sqrt {10}$

Zadanie 6

Wykonaj dzielenie pierwiastków. Wynik przedstaw w możliwie najprostszej postaci.

$a)\, 6\sqrt {40}\div 2\sqrt {5}$

$b)\, 25\sqrt {60}\div 5\sqrt {5}$

$c)\, 4\sqrt {72}\div 2\sqrt {3}$

$d)\, 8\sqrt {80}\div 4\sqrt {2}$

$e)\, 9\sqrt {54}\div 3\sqrt {2}$

$f)\, 10\sqrt {180}\div 2\sqrt {3}$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, 6\sqrt {40}\div 2\sqrt {5}=3\sqrt {40\div 5}=3\sqrt {8}=3\sqrt {4\times 2}=3\times 2\sqrt {2}=6\sqrt {2}$

WSKAZÓWKI:

$6\sqrt {40}\div 2\sqrt {5}=6\div 2\sqrt {40\div 5}=3\sqrt {8}$

1. Wykonaj dzielenie: liczby stojące przed pierwiastkiem podziel przez siebie a liczby pod pierwiastkiem podziel przez siebie.

$3\sqrt {8}=3\sqrt {4\times 2}$

2. Liczbę pod pierwiastkiem rozłóż na iloczyn czynników z których jeden będzie kwadratem liczby naturalnej (będziesz mógł obliczyć pierwiastek kwadratowy z tej liczby).

$3\sqrt {4\times 2}=3\times 2\sqrt {2}=6\sqrt {2}$

3. Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka i wymnóż go przez liczbę stojącą przed znakiem pierwiastka.

$b)\, 25\sqrt {60}\div 5\sqrt {5}=5\sqrt {60\div 5}=5\sqrt {12}=5\sqrt {4\times 3}=10\sqrt {3}$

$c)\, 4\sqrt {72}\div 2\sqrt {3}=2\sqrt {72\div 3}=2\sqrt {24}=2\sqrt {4\times 6}=4\sqrt {6}$

$d)\, 8\sqrt {80}\div 4\sqrt {2}=2\sqrt {80\div 2}=2\sqrt {40}=2\sqrt {4\times 10}=4\sqrt {10}$

$e)\, 9\sqrt {54}\div 3\sqrt {2}=3\sqrt {54\div 2}=3\sqrt {27}=3\sqrt {9\times 3}=9\sqrt {3}$

$f)\, 10\sqrt {180}\div 2\sqrt {3}=5\sqrt {180\div 3}=5\sqrt {60}=5\sqrt {4\div 15}=10\sqrt {15}$

Zadanie 7

Oblicz pierwiastki:

$a)\, 2\sqrt {12}\times 3\sqrt {3}$

$b)\, 5\sqrt {8}\times 3\sqrt {2}$

$c)\, 6\sqrt {2}\times 2\sqrt {32}$

$d)\, 7\sqrt {20}\times \sqrt {5}$

$e)\, 2\sqrt {27}\times 2\sqrt {3}$

$f)\, 3\sqrt {48}\times 4\sqrt {3}$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, 2\sqrt {12}\times 3\sqrt {3}=6\sqrt {36}=6\times 6=36$

$b)\, 5\sqrt {8}\times 3\sqrt {2}=15\sqrt {16}=15\times 4=60$

$c)\, 6\sqrt {2}\times 2\sqrt {32}=12\sqrt {64}=12\times 8=96$

$d)\, 7\sqrt {20}\times \sqrt {5}=7\sqrt {100}=7\times 10=70$

$e)\, 2\sqrt {27}\times 2\sqrt {3}=4\sqrt {81}=4\times 9=36$

$f)\, 3\sqrt {48}\times 4\sqrt {3}=12\sqrt {144}=12\times 12=144$

Zadanie 8

Oblicz:

$a)\, 6\sqrt {24}\div 2\sqrt {6}$

$b)\, 4\sqrt {20}\div 2\sqrt {5}$

$c)\, 8\sqrt {54}\div 4\sqrt {6}$

$d)\, 12\sqrt {48}\div 3\sqrt {3}$

$e)\, 14\sqrt {108}\div 7\sqrt {3}$

$f)\, 10\sqrt {125}\div 5\sqrt {5}$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, 6\sqrt {24}\div 2\sqrt {6}=3\sqrt {4}=3\times 2=6$

$b)\, 4\sqrt {20}\div 2\sqrt {5}=2\sqrt {4}=2\times 2=4$

$c)\, 8\sqrt {54}\div 4\sqrt {6}=2\sqrt {9}=2\times 3=6$

$d)\, 12\sqrt {48}\div 3\sqrt {3}=4\sqrt {16}=4\times 4=16$

$e)\, 14\sqrt {108}\div 7\sqrt {3}=2\sqrt {36}=2\times 6=12$

$f)\, 10\sqrt {125}\div 5\sqrt {5}=2\sqrt {25}=2\times 5=10$

Zadanie 9

Oblicz:

$a)\, \sqrt {2}\times \sqrt {4\frac {1} {2}}$

$b)\, \sqrt {24}\times \sqrt {\frac {2} {3}}$

$c)\, \sqrt {18\frac {3} {4}}\times \sqrt {\frac {4} {3}}$

$d)\, \sqrt {2\frac {2} {3}}\div \sqrt {\frac {2} {3}}$

$e)\, \sqrt {\frac {32} {5}}\div \sqrt {10}$

$f)\, \sqrt {40\frac {4} {5}}\div \sqrt {3\frac {2} {5}}$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, \sqrt {2}\times \sqrt {4\frac {1} {2}}=\sqrt {2\times 4\frac {1} {2}}=\sqrt {\frac {2} {1}\times \frac {9} {2}}=\sqrt {\frac {18} {2}}=\sqrt {9}=3$

WSKAZÓWKI:

$\sqrt {2}\times \sqrt {4\frac {1} {2}}=\sqrt {2\times 4\frac {1} {2}}=\sqrt {\frac {2} {1}\times \frac {9} {2}}$

1. Zapisz oba pierwiastki pod jednym pierwiastkiem a następnie zamień liczby na ułamki niewłaściwe.

$\sqrt {\frac {2} {1}\times \frac {9} {2}}=\sqrt {\frac {18} {2}}=\sqrt {9}$

2. Wykonaj mnożenie ułamków. Licznik (góra) jednego ułamka pomnóż przez licznik drugiego ułamka a mianownik (dół) razy mianownik. Pamiętaj, że mnożąc ułamki możemy je upraszczać (skracać) w następujący sposób: licznik jednego ułamka z mianownikiem drugiego lub licznik z mianownikiem tego samego ułamka. Można jednak pomnożyć ułamki nie wykonując “po drodze” żadnych uproszczeń i skrócić dopiero wynik końcowy mnożenia.

$\sqrt {9}=3$

3. Oblicz pierwiastek z otrzymanej liczby.

$b)\, \sqrt {24}\times \sqrt {\frac {2} {3}}=\sqrt {24\times \frac {2} {3}}=\sqrt {\frac {24} {1}\times \frac {2} {3}}=\sqrt {\frac {48} {3}}=\sqrt {16}=4$

$c)\, \sqrt {18\frac {3} {4}}\times \sqrt {\frac {4} {3}}=\sqrt {18\frac {3} {4}\times \frac {4} {3}}=\sqrt {\frac {75} {4}\times \frac {4} {3}}=\sqrt {\frac {300} {12}}=\sqrt {25}=5$

UWAGA: Pamiętaj, że dzieląc przez siebie dwa ułamki zamieniamy dzielenie na mnożenie, ale pierwszy ułamek mnożymy przez odwrotność drugiego ułamka.

$d)\, \sqrt {2\frac {2} {3}}\div \sqrt {\frac {2} {3}}=\sqrt {2\frac {2} {3}\div \frac {2} {3}}=\sqrt {\frac {8} {3}\div \frac {2} {3}}=\sqrt {\frac {8} {3}\times \frac {3} {2}}=\sqrt {\frac {24} {6}}=\sqrt {4}=2$

$e)\, \sqrt {\frac {32} {5}}\div \sqrt {10}=\sqrt {\frac {32} {5}\div 10}=\sqrt {\frac {32} {5}\div \frac {10} {1}}=\sqrt {\frac {32} {5}\times \frac {1} {10}}=\sqrt {\frac {32} {50}}=\sqrt {\frac {16} {25}}=\frac {\sqrt {16}} {\sqrt {25}}=\frac {4} {5}$

$f)\, \sqrt {40\frac {4} {5}}\div \sqrt {3\frac {2} {5}}=\sqrt {40\frac {4} {5}\div 3\frac {2} {5}}=\sqrt {\frac {204} {5}\div \frac {17} {5}}=\sqrt {\frac {204} {5}\times \frac {5} {17}}=\sqrt {\frac {1020} {85}}=\sqrt {12}=\sqrt {4\times 3}=2\sqrt {3}$

Zadanie 10

Wykonaj mnożenie pierwiastków sześciennych (pierwiastków trzeciego stopnia).

$a)\, \sqrt[{3}] {2}\times \sqrt[{3}] {32}$

$b)\, \sqrt[{3}] {5}\times \sqrt[{3}] {25}$

$c)\, \sqrt[{3}] {12}\times \sqrt[{3}] {18}$

$d)\, \sqrt[{3}] {10}\times \sqrt[{3}] {100}$

$e)\, \sqrt[{3}] {4}\times \sqrt[{3}] {128}$

$f)\, \sqrt[{3}] {3}\times \sqrt[{3}] {9}$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, \sqrt[{3}] {2}\times \sqrt[{3}] {32}=\sqrt[{{3}}] {64}=4$

$b)\, \sqrt[{3}] {5}\times \sqrt[{3}] {25}=\sqrt[{3}] {125}=5$

$c)\, \sqrt[{3}] {12}\times \sqrt[{3}] {18}=\sqrt[{3}] {216}=6$

$d)\, \sqrt[{3}] {10}\times \sqrt[{3}] {100}=\sqrt[{3}] {1000}=10$

$e)\, \sqrt[{3}] {4}\times \sqrt[{3}] {128}=\sqrt[{{3}}] {512}=8$

$f)\, \sqrt[{3}] {3}\times \sqrt[{3}] {9}=\sqrt[{3}] {27}=3$

Zadanie 11

Oblicz:

$a)\, \sqrt[{3}] {324}\div \sqrt[{3}] {12}$

$b)\, \sqrt[{3}] {144}\div \sqrt[{3}] {18}$

$c)\, \sqrt[{3}] {192}\div \sqrt[{3}] {3}$

$d)\, \sqrt[{3}] {500}\div \sqrt[{3}] {4}$

ROZWIĄZANIE:

$a)\, \sqrt[{3}] {324}\div \sqrt[{3}] {12}=\sqrt[{3}] {27}=3$

$b)\, \sqrt[{3}] {144}\div \sqrt[{3}] {18}=\sqrt[{3}] {8}=2$

$c)\, \sqrt[{3}] {192}\div \sqrt[{3}] {3}=\sqrt[{{3}}] {64}=4$

$d)\, \sqrt[{3}] {500}\div \sqrt[{3}] {4}=\sqrt[{3}] {125}=5$

Course Features

Lectures 0
Quizzes 0
Duration 50 hours
Skill level All levels
Language English
Students 0
Assessments Yes

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Obliczanie pierwiastka kwadratowego

Students

Free

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Mnożenie potęg o tym samym wykładniku

Students

Free

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Students

Free

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Students

Free

Zobacz

Żaneta Szczyglak

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Students

Free

LICEUM / TECHNIKUM

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Course Features

Obliczanie pierwiastka kwadratowego

Mnożenie potęg o tym samym wykładniku

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

2 Komentarzy

Zostaw komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

LICEUM / TECHNIKUM

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Course Features

Podobne zadania

Obliczanie pierwiastka kwadratowego

Mnożenie potęg o tym samym wykładniku

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

2 Komentarzy

Zostaw komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi