Równania z wartością bezwzględną
Temat: Równania z wartością bezwzględną.
Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej
Temat: Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej Wartością bezwzględną (modułem) liczby x nazywamy odległość na osi liczbowej liczby x od liczby 0. Wartość bezwzględną liczby x oznaczamy |x|. Wartość…
Błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia
Temat: Błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia. Błąd bezwzględnyBłąd bezwzględny przybliżenia informuje nas o ile różni się wartość przybliżona (ta oszacowana przez nas) od…
Reguła mnożenia
Temat: Reguła mnożenia. Reguła mnożenia wykorzystywana jest do zliczania wyników doświadczenia. Jeśli doświadczenie możemy podzielić np. np. dwa etapy to jeśli pierwszy etap możemy…
Kombinacje
Temat: Kombinacje. Kombinacją k – elementową bez powtórzeń n – elementowego zbioru A, gdzie k, n należą do zbioru liczb naturalnych i k ≤ n,…
Wariacje z powtórzeniami
Temat: Wariacje z powtórzeniami. Wariacją k – elementową z powtórzeniami n – elementowego zbioru A (gdzie k, n należą do zbioru liczb naturalnych dodatnich)…
Wariacje bez powtórzeń
Temat: Wariacje bez powtórzeń. Wariacją k – wyrazową bez powtórzeń n – elementowego zbioru A (gdzie k, n należą do zbioru liczb naturalnych dodatnich i…
Permutacje
Temat: Permutacje. Permutacją n – elementowego zbioru A (gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych) nazywamy każdy n – wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich…
Odchylenie standardowe
Temat: Odchylenie standardowe. Odchylenie standardowe jest podstawową miarą zmienności obserwowanych wyników. Informuje nas o tym o ile średnio odchylają się wartości badanej cechy od…
Średnia ważona
Temat: Średnia ważona. Średnia ważona to średnia elementów, którym przypisane są poszczególne wagi w taki sposób, że elementy, które mają większą wagę w większym…
Odległość punktu od prostej
Temat: Odległość punktu od prostej. Odległość punktu od prostej:Odległością punktu P od prostej l nazywamy długość najkrótszego odcinka łączącego punkt P z punktem na…
Wprowadzenie do geometrii analitycznej
Temat: Wprowadzenie do geometrii analitycznej. Prostokątny układ współrzędnych: Prostokątnym (kartezjańskim) układem współrzędnych nazywamy dwie osie liczbowe wzajemnie prostopadłe i przecinające się w punkcie zerowym….
Środek odcinka
Temat: Środek odcinka. Środkiem odcinka AB jest punkt o współrzędnych: Zadanie 1Wyznacz współrzędne środka odcinka AB, jeśli: ROZWIĄZANIE Zadanie 2Dany jest odcinek AB taki, że a) Oblicz długość tego…
Długość odcinka w układzie współrzędnych
Temat: Długość odcinka w układzie współrzędnych. Odległość dwóch punktów. Długość odcinka. Odległość między punktami i i czyli długość odcinka AB jest równa: Zadanie 1…
Notacja wykładnicza
Temat: Notacja wykładnicza. Notacja wykładnicza (notacja naukowa) to sposób przedstawiania liczby przy pomocy iloczynu liczby a i liczby 10 do potęgi n – tej,…
Wzór ogólny ciągu
Temat: Wzór ogólny ciągu. Ciągiem nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór dodatnich liczb naturalnych. Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu. Podobnie jak w przypadku…
Równania kwadratowe
Temat: Rozwiązywanie równań kwadratowych. Czym jest równanie kwadratowe? Równaniem kwadratowym nazywamy wyrażenie algebraiczne z jedną niewiadomą w drugiej potędze (równanie drugiego stopnia). Współczynniki trójmianu…
Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą
Temat: Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą: Równaniem pierwszego stopnia (zwanym też równaniem liniowym) z jedną niewiadomą…
Równania wymierne
Temat: Równania wymierne. Rozwiązywanie równania wymiernego: Równanie wymierne z niewiadomą x to równanie, które można zapisać w postaci: gdzie W(x) i V(x) to sumy…
Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych
Temat: Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych. Dodawanie wyrażeń wymiernych o tych samych mianownikach. Wykonując dodawanie wyrażeń wymiernych postępujemy tak samo jak w przypadku dodawania…
Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych
Temat: Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych. Skracanie wyrażeń wymiernych. Skracanie (upraszczanie) wyrażenia wymiernego polega na podzieleniu jego licznika i mianownika przez to samo wyrażenie…
Dziedzina wyrażenia wymiernego
Temat: Wyznaczanie dziedziny wyrażenia wymiernego. Dziedzina wyrażenia wymiernego Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których mianownik tego wyrażenia jest różny od…
Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych
Temat: Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych. Obliczanie sum algebraicznych Jeśli chcesz wyznaczyć sumę (różnicę) sum algebraicznych, musisz dodać (odjąć) występujące w nich jednomiany tego…
Mnożenie sum algebraicznych
Temat: Mnożenie sum algebraicznych. Mnożenie sum algebraicznych przez jednomian Jeśli mnożymy sumę algebraiczną przez dany jednomian, musimy każdy wyraz sumy pomnożyć przez ten jednomian. PAN…
Wzory skróconego mnożenia
Temat: Wzory skróconego mnożenia. Kwadrat sumy Kwadrat sumy dwóch wyrażeń równy jest sumie trzech składników: pierwszego wyrażenia podniesionego do kwadratu, podwojonego iloczynu tych wyrażeń…
Wartość liczbowa wyrażeń algebraicznych
Temat: Wartość liczbowa wyrażeń algebraicznych. Obliczanie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznegoJeśli chcesz obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego, musisz podstawić w miejsce liter odpowiadające im liczby,…
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
Zadanie 1Wyznacz (o ile istnieją) miejsca zerowe podanych funkcji kwadratowych: Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej uzależniona jest od wartości delty (Δ), tzw. wyróżnika trójmianu…
Proste równoległe i prostopadłe
Zadanie 1 Wyznacz równanie prostej k równoległej do prostej l o wzorze y = 2x + 3 przechodzącej przez punkt A = (6, 8)….
Wykres funkcji liniowej
Zadanie 1 Narysuj wykres funkcji liniowej o wzorze: ROZWIĄZANIE: 1. Wybieramy dwa dowolne argumenty dla których będziemy obliczać wartość funkcji. Wybrane argumenty podstawiamy do…
Miejsce zerowe funkcji liniowej
Zadanie 1 Wyznacz miejsce zerowe funkcji: ROZWIĄZANIE:SPOSÓB IWSKAZÓWKI:1. Przyrównaj funkcję do 0. 2. Rozwiąż równanie (przenieś wiadome na jedną stronę, niewiadome na drugą stronę równania;…
Potęga o wykładniku wymiernym
Zadanie 1 Oblicz: Potęgę o wykładniku wymiernym możemy zapisać za pomocą pierwiastka: Zgodnie z powyższym wzorem mianownik wykładnika potęgi stanowił będzie stopień pierwiastka, natomiast…
Potęga o wykładniku ujemnym
Zadanie 1 Oblicz: Jeśli w wykładniku potęgi znajduje się minus ( potęga o wykładniku ujemnym) to aby go usunąć należy odwrócić podstawę tej potęgi.W…
Dzielenie potęg o tym samym wykładniku
Zadanie 1 Korzystając ze wzoru na dzielenie (iloraz) potęg o tych samych wykładnikach zapisz w możliwie najprostszej postaci. Dzieląc potęgi o tych samych wykładnikach korzystamy…
Mnożenie potęg o tym samym wykładniku
Zadanie 1Korzystając ze wzoru na mnożenie potęg o tym samym wykładniku zapisz w możliwie najprostszej postaci. Mnożąc potęgi o tych samych wykładnikach korzystamy ze…
Dzielenie potęg o tej samej podstawie
Zadanie 1 Przedstaw w postaci jednej potęgi. Dzieląc potęgi o tych samych podstawach korzystamy ze wzorów: Zgodnie z powyższymi wzorami podstawę potęgi przepisujemy bez…
Mnożenie potęg o tej samej podstawie
Zadanie 1Przedstaw w postaci jednej potęgi. Mnożąc potęgi o tych samych podstawach korzystamy ze wzoru:Zgodnie z powyższym wzorem podstawę potęgi przepisujemy bez zmian, natomiast…
Potęgowanie potęgi
Zadanie 1Zapisz w postaci jednej potęgi. Potęgując potęgę (lub inaczej podnosząc potęgi do potęgi) należy skorzystać z następującego wzoru:Zgodnie z powyższym wzorem podstawę potęgi…
Usuwanie niewymierności z mianownika
Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka:Czym jest niewymierność?Z pojęciem niewymierności mianownika spotykamy się wówczas gdy w mianowniku ułamka mamy pierwiastek będący liczbą niewymierną. Usuwanie niewymierności…
Mnożenie i dzielenie pierwiastków
Zadanie 1 Wykonaj mnożenie pierwiastków. Wynik zapisz w możliwie najprostszej postaci. UWAGA: Pierwiastki można mnożyć i dzielić tylko wtedy gdy są tego samego stopnia….
Dodawanie i odejmowanie pierwiastków
Zadanie 1 Oblicz: Pierwiastki możemy dodawać do siebie lub odejmować tylko wtedy, gdy są one tego samego stopnia i mają tę samą liczbę podpierwiastkową. Mówimy,…
Włączanie czynnika pod znak pierwiastka
Zadanie 1 Włącz czynnik pod znak pierwiastka ROZWIĄZANIE: WSKAZÓWKI: 1. Liczbę stojącą przed pierwiastkiem podnieś do potęgi drugiej i zapisz to potęgowanie pod znakiem…
Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka
Zadanie 1 Wyłącz czynnik przed pierwiastek. ROZWIĄZANIE: WSKAZÓWKI: 1. Rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn (mnożenie) takich liczb aby jedną z nich można było…
Logarytm potęgi
Zadanie 1 Oblicz: Jeśli chcesz obliczyć potęgę w której wykładniku znajduje się logarytm o takiej samej podstawie jak podstawa tej potęgi, to możesz skorzystać z…
Dodawanie i odejmowanie logarytmów
Zadanie 1 Oblicz: ROZWIĄZANIE:WSKAZÓWKI:1. Skorzystaj ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie. Jeśli dodajemy do siebie dwa logarytmy o tej samej podstawie to w rezultacie…
Obliczanie logarytmów
Zadanie 1 Oblicz logarytmy:ROZWIĄZANIE:WSKAZÓWKI: 1. Oznacz szukaną liczbę za pomocą x. 2. Skorzystaj z definicji logarytmu.Najprościej mówiąc zastanawiamy się do jakiej potęgi należy podnieść a –…
Różne zadania z procentów
Zadanie 1 Jacek z mamą za dwa bilety do Londynu zapłacili w sumie 570 złotych. Jacek jest studentem więc przysługuje mu 10% zniżki. Mamie…
Obliczanie procentu z danej liczby
Zadanie 1 Oblicz: ROZWIĄZANIE: WSKAZÓWKI: 1. Zamień procent na ułamek (zwykły bądź dziesiętny); aby zamienić procent na ułamek należy liczbę określającą ten procent podzielić…